Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

On formule une conjecture sur les valeurs d' "integrales itérées $p$-adiques" associées à un triplet $(f,g,h)$ de formes modulaires de poids $(2,1,1)$, faisant intervenir (dans le cas où $f$ est associée à une courbe elliptique) les logarithmes $p$-adiques de certains points algébriques sur cette courbe. Les relations avec les systèmes d'Euler de Kato-Perrin-Riou, Beilinson-Flach, et Gross-Schoen seront abordées. Il s'agit d'une collaboration avec Alan Lauder et Victor Rotger.

La conjecture ternaire de Goldbach (1742) affirme que tout nombre impair plus grand que 5 est la somme de trois nombres premiers. Après les pionniers (Hardy et Littlewood), Vinogradov prouva (1937) que tout nombre impair plus grand qu'une constante~$C$ satisfait la conjecture. Dans les trois quarts de siècle suivants, il y a eu une succession de résultats réduisant~$C$, mais seulement à des niveaux beaucoup trop grands pour qu'une vérification mécanique jusqu'à $C$ soit possible ($C>10^{1300}$). (Par ailleurs, les travaux de Ramaré et Tao ont prouvé les problèmes correspondants avec six et cinq nombres premiers en place de trois.) Nous verrons comment une nouvelle approche au problème, combinant des techniques modernes avec de nouvelles idées, amène à des grandes améliorations dans les bornes pour les \og arcs mineurs\fg. Les arcs majeurs sont traités, eux aussi, avec une nouvelle approche, combinant des estimations délicates provenant de l'analyse asymptotique avec des calculs sur les zéros des fonctions $L$ de conducteur borné (Platt) et des bornes dont l'origine est le grand crible (Ramaré, Selberg). Mes travaux prouvent la conjecture pour tout entier impair.

This is joint work with Joe Buhler and Jaap Top. The generalization of the original conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer was formulated by Bloch and Beilinson and predicts that the order of vanishing of the $L$-function of a threefold at the center of the critical strip gives the rank of the Chow group of cycles homologous to zero. We discuss an attempt to construct null-homologous one cycles, evaluate the Abel-Jacobi map at these cycles, and to compare the results with the apparent order of vanishing of the $L$-function.

I will discuss recent progress using additive combinatorics to prove the Hasse principle and weak approximation for certain varieties defined by systems of equations involving norm forms. This allows us to show that the Brauer-Manin obstruction controls weak approximation on normic bundles of the shape $N_K(x_1,...,x_n) = P(t)$, where $P(t)$ is a product of linear polynomials all defined over $\mathbf Q$ and $K/\mathbf Q$ is an arbitrary extension of degree~$n$. This is joint work with Tim Browning.

Dans cet exposé on montre comment minorer le rang d'une famille de vecteurs de $\mathbf R^k$ (vu comme espace vectoriel sur le corps des rationnels), à partir de l'existence d'une suite de formes linéaires petites en $k$ points. Dans le cas particulier $k=1$, on retrouve le critère d'indépendance linéaire de Nesterenko, utilisé par Ball-Rivoal pour démontrer l'irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta de Riemann en des entiers impairs. Le cas général peut aussi servir dans ce contexte.

Dans ce travail en collaboration avec Vincent Pilloni, nous démontrons un théorème de relèvement modulaire pour les formes de Hilbert de poids un. Suivant une stratégie initiée par Taylor, cela permet de prouver la conjecture d'Artin pour les représentations irréductibles impaires de dimension deux des groupes de Galois des corps totalement réels.

La première partie de l'exposé sera une introduction générale à la théorie quantique des champs perturbative. J'expliquerai en particulier comment les prédictions pour le LHC se ramènent à des problèmes de calcul de périodes en géométrie algébrique. L'acteur principal est le polynôme d'un graphe, introduit par Kirchhoff en 1847. Dans la deuxième partie je montrerai que cela donne lieu à des objets et des questions intéressants en théorie des nombres (valeurs de la fonction zêta, formes modulaires, etc).

Travail en commun avec Thomas Gauthier. J'expliquerai comment le théorème de Yuan d'équidistribution des points de petite hauteur permet de comprendre la distribution des polynômes post-critiquement finis dans l'espace des paramètres des polynômes de degré fixé.

If $L$ is a degree $\ell$ field with Galois group of Galois closure $D_\ell$, then $L$ has a quadratic resolvent $k$, and $\disc(L)=(\disc(k)f(L))^{(\ell-1)/2}$ for a suitable integer $f(L)$. We give a completely explicit formula for the Dirichlet series $\sum_L f(L)^{-s}$ in terms of Euler products attached to a finite number of auxiliary fields. This has applications both in the exact counting and in the asymptotics of such degree $\ell$ fields. The same is also done for quartic fields with Galois closure $A_4$ or $S_4$ and given cubic resolvent.

Dans ce travail en commun avec Éric Gaudron, nous donnons plusieurs estimations explicites pour la géométrie des variétés abéliennes sur les corps de nombres. En particulier, nous démontrons l'existence d'une petite polarisation, dont le degré est contrôlé par la hauteur de Faltings et la dimension de la variété et le degré du corps. Nous améliorons aussi et rendons explicites les théorèmes d'isogénies de Masser et Wüstholz. Au cœur des preuves se trouvent des arguments de géométrie des nombres sur les réseaux euclidiens formés des endomorphismes entre deux variétés abéliennes. On applique ensuite un théorème des périodes.

Un nombre réel est appelé un nombre automatique si son développement dans une base entière peut être engendré par un automate fini. L'exposant d'irrationalité d'un nombre réel irrationnel $\xi$ est le supremum des nombres réels $\mu$ pour lesquels $|\xi - p/q| < q^{-\mu}$ possède une infinité de solutions rationnelles $p/q$. L'exposant d'irrationalité de presque tous les nombres réels (au sens de la mesure de Lebesgue) est égal à $2$, de même que l'exposant d'irrationalité des nombres réels algébriques irrationnels (c'est le théorème de Roth). Nous passons en revue les différents résultats connus portant sur l'approximation rationnelle des nombres automatiques. En particulier, nous démontrons que l'exposant d'irrationalité du nombre de Thue--Morse--Mahler $\sum_{k\ge 0} t_k 2^{-k}$ est égal à $2$. Ici, la suite $(t_k)_{k \ge 0}$ est la suite de Thue--Morse sequence, définie par $t_0 = 0$, $t_{2k} = t_k$ et $t_{2k+1} = 1 - t_k$ pour $k \ge 0$.

Let E be an elliptic curve defined over Q and K an imaginary quadratic field satisfying the Heegner hypothesis. The p-adic Gross-Zagier formula for E is a formula relating the derivative of the L-function of E/K and the p-adic height of the Heener point for K. For a good ordinary prime p, the formula is already obtained by B. Perrin-Riou long time ago. In this talk, we discuss the good supersingular case and explain ideas of proof.

Étant donné un corps $\K$, on entend par fonction algébrique un élément algébrique sur le corps des fractions rationnelles $\K(t)$, où $t$ peut éventuellement désigner un vecteur d'indéterminées. Ces fonctions admettent des développements en série formelle (ou plus généralement en série de Laurent, de Puiseux, de Hahn). Un aspect remarquable est que, lorsque la caractéristique du corps $\K$ n'est pas nulle, ces séries jouissent d'une structure très particulière, étroitement liée à la théorie des automates finis. Dans cet exposé, on s'intéressera à certaines questions arithmétiques liées à l'étude de telles fonctions, en soulignant notamment l'intérêt de considérer à la fois le cas où $\K$ est fini et celui où $\K$ est infini.

Dans cet exposé, nous montrerons de quelle manière certains résultats récents sur les représentations galoisiennes de courbes elliptiques sur Q s'étendent aux Q-courbes sur des corps quadratiques. Pour cela, nous utiliserons des outils classiques incluant des théorèmes d'isogénie, la méthode de Mazur et la méthode de Runge. Nous préciserons comment la structure supplémentaire apportée par le fait d'être une Q-courbe stricte permet, en se basant sur un article d'Ellenberg, de contourner l'obstacle habituel constitué par le cas dit de "Cartan non déployé" dans notre situation. Ceci permettra d'apporter une réponse au problème d'uniformité de Serre pour les Q-courbes strictes, sans multiplication complexe, et définies sur un corps quadratique imaginaire.

It is known that an abelian variety $A$ over a $p$-adic field $K$ has good reduction if and only if $T_p(A)$ is a crystalline representation of $G_K$. In this talk we will discuss a related criterion for the good reduction of a smmoth proper curve $X$ over $K$.

Dans un travail avec David Harari, nous donnons des conditions suffisantes d'existence et de densité pour les points entiers de variétés affines fibrées sur la droite affine en espaces homogènes de groupes semisimples. L'énoncé général sera donné pendant le séminaire. Voici un cas concret. Soient $a_{i}(t), i=1,2,3,$ et $p(t)$ dans $\Z[t]$ des polynômes. Supposons le produit $p(t).\prod_{i}a_{i}(t)$ non constant et sans facteur carré dans $\Q[t]$. Soit $\X/\Z$ le schéma affine défini dans l'espace affine $\A^4_{\Z}$ par $$\sum_{i=0}^2 a_{i}(t)x_{i}^2=p(t).$$ Supposons que pour presque tout $t \in \R$ la conique $\sum_{i=0}^2 a_{i}(t)x_{i}^2=0$ a un point dans $\R$. Alors le principe local-global et l'approximation forte valent pour les points entiers de $\X$ : L'image diagonale de $\X(\Z)$ est dense dans le produit $\prod_{p} \X(\Z_{p})$ des solutions locales entières sur tous les premiers $p$.

Hida a démontré que la courbe p-adique de Hecke est lisse aux points correspondant à des formes modulaires classiques ordinaires de poids au moins égal à deux. Dans un travail en collaboration avec Joël Bellaïche, nous démontrons que ceci reste vrai pour les formes modulaires classiques de poids un qui sont régulières en p. Ceci nous permet de leur associer des fonctions L p-adiques.

Nous exposerons l'étude de la densité des variétés algébriques ne satisfaisant pas le principe de Hasse parmi un sous ensemble des surfaces de Châtelet et parmi un sous ensemble de certains tores coflasques. Ces deux travaux ont été réalisés en collaboration avec Tim Browning.

This is a joint work with Ming-Lun Hsieh. In the fundamental work of Bertolini-Darmon on anticyclotomic Iwasawa theory for elliptic curves, they proved oneside divisiblity of anticyclotomic Iwasawa main conjecture for elliptic curves over Q using an Euler system obtained by CM points on Shimura curves and the level raising of modular forms. In this talk, we will generalize their work to higher weight modular forms using an explicit construction of congruence among modular forms of different weights. Also we will discuss on some applications of our result.

La notion d'uniformité, formalisée par Weil et par Tukey, est intermédiaire entre localité et globalité. L'idée que nous présenterons dans cet exposé est celle de faisceau uniforme, qui permet de recoller des données locales uniformément compatibles. La motivation initiale est venue de l'étude des singularités des équations différentielles linéaires méromorphes, qui met en jeu une théorie (algébrique) formelle et une théorie (topologique) de la monodromie, articulées par une théorie (faisceautique) des développements asymptotiques faisant usage de «zooms» tels que les éclatements réels. Hors bord, ces derniers ne modifient pas la topologie mais seulement la structure uniforme, ce qui suggère de repenser toute la théorie en termes de faisceaux uniformes. Il en est de même pour les équations aux q-différences. Nous évoquerons aussi (et peut-être surtout) le cas p-adique et décrirons en particulier, en termes de structures uniformes, ce qu'est l'analogue p-adique d'un éclaté réel.

Dans cet exposé nous expliquerons comment une fonction analytique rigide, appelée fonction $\omega$, définie sur un certain corps algébriquement clos et complet de caractéristique non-nulle (et introduite par G. Anderson et D. Thakur dans les années 1990) apparaît dans les ``facteurs gamma" de certaines identités fonctionnelles pour une nouvelle classe de séries $L$. Nous discuterons aussi des retombées de ces remarques sur la théorie des fonctions zêta en caractéristique non nulle. Plusieurs résultats présentés dans l'exposé sont le fruit du travail en commun avec B. Anglès, et avec R. Perkins.

Les (φ,Γ)-modules associés à un groupe de Lubin-Tate généralisent la théorie des (φ,Γ)-modules usuels. Bien qu'ils soient encore mal connus, des travaux récents, notamment de Ren et Kisin, commencent à dégager certains éléments du tableau. Je parlerai des extensions de deux (φ,Γ)-modules de rang 1 dans ce cadre, en montrant les similarités et les différences avec les (φ,Γ)-modules triangulins introduits par Colmez pour la correspondance de Langlands p-adique.

On considère certaines familles algébriques à un paramètre de variétés définies sur un corps fini Fq ou sur un corps de fonctions à une variable Fq(C). A chacune de ces variétés, on associe naturellement une fonction L (le numérateur de la fonction zeta dans le cas d'une courbe sur Fq, ou le produit eulérien de tels numérateurs indexé par les points fermés de C dans le cas d'une courbe elliptique sur Fq(C)), dont on sait par les travaux de Dwork et Grothendieck, que ce sont des polynômes à coefficients rationnels. Dans cet exposé on expliquera comment montrer que, typiquement, les zéros de ces polynômes sont linéairement indépendants sur Q; question classique dans le cas des fonctions L de Dirichlet.

Anderson introduced a p-adic version of soliton theory. He applied it to the Jacobian variety of a cyclic quotient of a Fermat curve and showed that torsion points of certain prime order lay outside of the theta divisor. We evolve his theory further by using the Artin-Hasse exponential and Hasse-Witt matrix. As an application, we get stronger results on the intersection of the theta divisor and torsion points on the Jacobian variety of a more general class of curves. (Joint work with S. Kobayashi. Reference: arXiv:1210.5838.)

We show how to cut out families of Galois representations from Chenevier's space of trianguline $(\phi,\Gamma)$-modules. This yields a new definition of Kisin's finite slope subspace as well as higher dimensional analogues. Especially we show that these finite slope spaces contain eigenvarieties for unitary groups as closed subspaces. This implies that the Galois-representations on eigenvarieties for certain unitary groups form a trianguline family over a dense Zariski-open subset.

Nous allons étudier un système de représentations galoisienne l-adique, associé aux variétés algébriques définit sur un corps de nombres. Je vais présenter une conjecture de Serre liée à ce système et discuter quelques résultats obtenus dans cette direction.

This is a joint work with Moritz Kerz. We introduce relative higher Chow groups associated to pairs of smooth schemes over a field and Cartier divisors on them. We study ramification theory on schemes by using relative Chow groups.

We present explicit inequalities which relate heights and conductors of elliptic curves over number fields, and we discuss Diophantine applications.

Nous définissons une version entière du cocycle de Sczech-Eisenstein pour GLn(Z) en augmentant le niveau en un nombre premier. Nous en déduisons une nouvelle construction des fonctions L p-adiques de Barsky/Cassou-Noguès/Deligne-Ribet. Cette approche cohomologique permet en outre d'étudier le terme principal des ces fonctions L en s=0 : 1) Nous obtenons une preuve directe que l'ordre d'annulation des fonction L en s=0 est au moins égal à celui prédit par la conjecture de Gross. Ce résultat était déjà connu comme conséquence des travaux de Wiles sur la conjecture principale d'Iwasawa. 2) Nous obtenons un analogue de l'algorithme des symboles modulaires pour GLn grâce à la relation de cocycle et l'algorithme LLL, ce qui permet le calcul efficace des valeurs spéciales de ces fonctions L p-adiques. Combinant ceci avec un raffinement de la conjecture Gross-Stark, nous obtenons des exemples numériques de construction de p-unités dans les corps de classes de corps (cubiques) totalement réels. (Travail en commun avec Samit Dasgupta (UCSC)).

L'objet de cet exposé est de présenter un raffinement de la conjecture de multiplicités modulaires issu d'un travail en collaboration avec C. Breuil.\\ Cette conjecture lie l'ensemble des composantes irréductibles de la fibre spéciale d'un anneau de déformations potentiellement semi-stables d'une représentation galoisienne $\bar{\rho}$ modulo p fixée, et les poids de Serre de $\bar{\rho}$ qui apparaissent dans la réduction modulo $p$ du type de Bushnell-Kutzko pour Gl$_2({\bf Z}_p)$ correspondant. Nous présenterons différentes stratégies pour l'aborder.

In this pair of talks I will give an overview/survey of what one hopes to prove about the generating series associated to special arithmetic cycles in the Shimura varieties defined by unitary groups. Much of this is a longstanding joint project with Michael Rapoport. In addition, there is a lot of recent work by many people, including Ulrich Terstiege, Ben Howard, YiFeng Liu and others.