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Représentations et catégories dérivées
La théorie locale des blocs s'attache à étudier les
relations entre les propriétés p-locales d'un groupe fini
(i.e., liées aux centralisateurs ou normalisateurs de
p-sous-groupes non triviaux) et la catégorie des représentations
du groupe sur une extension de l'anneau des entiers p-adiques ou sur
un corps de caractéristique p. Plus précisément,
on cherche à comprendre l'influence de la catégorie de Brauer
(ou de la catégorie locale) d'un bloc sur la structure des
représentations modulaires.
Une des conjectures les plus importantes est la conjecture de Broué,
qui prédit que la catégorie dérivée d'un bloc à
groupe de défaut abélien est équivalente à la
catégorie dérivée du bloc correspondant du normalisateur
d'un groupe de défaut.
Passons en revue différents points abordés :
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Compatibilités locales des
équivalences dérivées
Pour des blocs principaux, Rickard a défini le concept d'équivalences
``splendides'' qui permettent de retrouver les isotypies de caractères
de Broué, à partir de la construction de Brauer. Linckelmann
a étendu ce concept aux blocs non principaux.
Dans un ouvrage à paraître, Puig a étudié une notion plus
générale d'équivalences ``basiques'', qui relie de manière très fine
les structures locales de blocs dérivés-équivalents.
L'existence ou non d'un foncteur ``canonique'' induisant
l'équivalence conjecturée par Broué reste à étudier
(Rouquier et Zimmermann ont étudié les groupes d'auto-équivalences de
catégories dérivées et observé qu'ils étaient très gros).
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Variétés de Deligne-Lusztig
Pour un groupe réductif fini et en caractéristique non naturelle
l, Broué a suggéré une construction de l'équivalence
conjecturée : elle devrait être fournie par le complexe de
cohomologie l-adique (entière) d'une certaine variété de
Deligne-Lusztig. Seul le rang 1 est compris pour le moment (Rouquier).
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Situations particulières
Rickard, Linckelmann et Rouquier ont vérifié la conjecture de Broué
pour des blocs à groupes de défaut cyclique ou d'ordre 4.
A la suite des travaux de Puig et Rickard, Harris et Linckelmann ont
vérifié la conjecture pour des groupes p-résolubles.
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Equivalences stables
La catégorie stable d'un bloc est le quotient de sa catégorie
de modules par les objets projectifs ou, ce qui revient au même, le
quotient de sa catégorie dérivée par les objets parfaits.
Ainsi, la conjecture de Broué prédit l'existence d'une équivalence
de catégorie stables.
De telles équivalences ont été construites par Puig pour
des blocs à défaut abélien à struture locale nilpotente.
Linckelmann a développé la théorie des équivalences stables
et l'a utilisée dans son étude des algèbres de sources des blocs
à défaut cyclique.
Carlson et Rouquier ont étudié les auto-équivalences de
catégories stables (après un travail de Linckelmann) et
déduit dans certains cas que les formes raffinées de la conjecture
de Broué étaient équivalentes à la conjecture originale.
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