Soit G un groupe algébrique réductif connexe sur une clôture
algébrique
d'un corps fini Fq, et soit F une isogénie
sur G qui a un nombre fini de points fixes. Le groupe des points
fixes GF est appelé un groupe fini de type de Lie, ou
groupe réductif fini. Toutes les familles infinies de groupes finis
simples sont obtenues par ce procédé (sauf la famille des groupes
alternés, qui correspondrait au ``cas limite'' d'un corps à un
élément).
Les variétés du titre on été introduites en 1976 pour construire
les représentations complexes irréductibles des groupes GF. À
chaque élément w du groupe de Weyl W de G on associe la
variété Xw formée de tous les sous-groupes de Borel tels que
le couple (B,F(B)) corresponde à la double classe de la
décomposition de Bruhat paramétrée par w. La variété Xw
est munie d'une action de GF, et à chaque caractère
q des
points rationnels d'un tore de type w est associé un
-faisceau
Lq sur la variété. La
représentation de Deligne-Lusztig associée à w et
q est
la représentation obtenue sur la somme alternée
H*c(Xw,Lq) des groupes de cohomologie l-adique à
support compact du faisceau Lq, qui est une représentation
complexe via l'isomorphisme
@ C. La cohomologie
fournissant en fait des représentations sur
et par réduction sur
,
ces variétés sont devenues aussi un outil pour l'étude
des représentations en caractéristique finie non
naturelle des groupes réductifs finis.
De plus, la cohomologie du faisceau particulier
correspondant au caractère q trivial semble être un invariant
``structurel'' des groupes réductifs finis, qui par plusieurs aspects
se comporte comme indépendant de la caractéristique (les caractères
de GF obtenus dans ce cas particulier sont les caractères
unipotents).
Un premier résultat obtenu par des membres de l'équipe est la
détermination de l'action de F (en fait de sa plus petite puissance
qui devienne un Frobenius déployé) sur H*c(Xw,
)
(``Shintani descent identities'', obtenues dans les thèses de Digne et
Michel).
Le GF-module virtuel H*c(Xw,
) ne dépend que de la
classe de conjugaison de w (si G est déployé; plus
généralement, il ne dépend que de la classe de F-conjugaison de
w), mais les groupes de cohomologie individuels dépendent de
l'élément particulier w (ce qui est attendu, puisque par exemple la
dimension de la variété est la longueur de w).
Les travaux de Broué, Malle, Michel inspirés par les conjectures de
Broué sur les équivalences dérivées entre l-blocs à
groupes de défaut abélien ont amené à conjecturer que pour
certains éléments w bien choisis le complexe qui donne lieu à la
cohomologie a des propriétés remarquables: à un nombre premier
l, on associe un polynôme cyclotomique Fd(q), diviseur de
l'ordre de GF, que l divise. À ce polynôme cyclotomique on
associe une classe d'éléments réguliers (au sens de Springer)
d'ordre d de W. Alors, il doit exister un élément particulier
w de cette classe tel que les groupes Hic(Xw,
) soient
disjoints en tant que GF-modules, et tel que l'algèbre commutante
EndGF(Åi Hci(Xw,
)) soit une ``algèbre
de Hecke Fd-cyclotomique''.
Broué et Michel ont montré comment choisir un tel élément w: il faut définir une variété de Deligne-Lusztig plus généralement associée à un élément du monoïde des tresses (ce qui est possible par une ``propriété universelle'' de ce monoïde, démontrée en 1997 par Deligne). Alors la ``bonne'' variété est associée à une ``racine d-ième'' w d'un élément canonique p du centre de ce monoïde (si l'on suppose W irréductible, ce centre est cyclique et p en est le générateur) - plus exactement un élément w du monoïde qui vérifie l'égalité (wF)d = pFd.
Le programme de recherches est immense, car on connaît a présent très peu de cas où ces conjectures sont ne serait-ce que partiellement démontrées. Comme directions de recherche on peut citer: