D’un point de vue de théorie des groupes, ce qui fait l’importance du groupe de tresses est qu’il est à l’intersection de deux mondes, celui des mapping class groups d’une part, celui des groupes d’Artin dits sphériques de l’autre. Ces derniers groupes BW sont des extensions d’un groupe de Coxeter fini W par un groupe PW appelé groupe d’Artin pur, qui est le groupe fondamental d’un « espace de configuration » XW , complémentaire d’un arrangement d’hyperplans. Le groupe de tresses à n brins correspond au groupe de Coxeter et à l’arrangement d’hyperplans de type An-1.
L’étude des représentations du groupe de tresses, de dimensions finie sur un corps k de caractéristique 0, a deux visées. En premier lieu elle s’attache à comprendre les représentations les plus importantes de ce groupe. En deuxième lieu elle cherche à développer les outils appropriés aux représentations particulières de ce groupe qui apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, qui vont de la théorie de Galois aux invariants de nœuds. Dans les deux cas on a souvent intérêt à se placer dans le cadre plus général des groupes d’Artin sphériques.
Cette étude est en effet rendue possible parce que l’on s’intéresse principalement aux déformations de représentations du groupe fini W, c’est-à-dire aux représentations de BW dont la restriction à PW est une déformation de la représentation triviale.
Suivent quelques aspects de ce domaine, qui ne prétendent pas rendre justice à l’ensemble. En particulier l’étude, cruciale pour certaines applications, des représentations « aux racines de l’unité », ne sera pas évoqué, pas plus que les tentatives de description topologique des représentations classiques, ou encore les relations (des représentations) du groupe de tresses avec de nombreux groupes importants, dont les groupes de Thompson et le groupe de Grothendieck-Teichmüller.
A la suite des travaux de Kohno, on peut faire apparaître par familles à un paramètre un grand nombre de représentations à partir de la monodromie de systèmes locaux sur XW à coefficients dans un k-espace vectoriel. Alternativement, on peut les voir comme des représentations sur le corps K = k((h)) des séries de Laurent dans K.
A priori, la monodromie transcendante impose k = C. Drinfeld a montré comment « algébriser » la monodromie, en type A, et donc la réaliser pour tout corps k de caractéristique 0, grâce à des objets nommés associateurs. Cette construction a été étendue en type B (Enriquez) et en type I2(m) (Marin).
Le cas k = R permet notamment d’expliquer l’apparition de structure unitaires sur les représentations les plus courantes (Marin).
De nombreux système locaux différents ont été construits en type A, appelés « systèmes KZ ». En tous types, on peut également construire de façon uniforme des systèmes locaux conduisant aux représentations de l’algèbre d’Iwahori-Hecke (Cherednik). Des représentations plus générales peuvent être également définies uniformément quand W est un groupe de Weyl (Toledano-Laredo).
Les algèbres d’Iwahori-Hecke HW (q) associées à W sont des quotients de l’algèbre de groupe du groupe d’Artin. Elles sont abstraitement isomorphes à l’algèbre de groupe de W. Un isomorphisme fameux est dû à Lusztig, d’autres isomorphismes ont été construits par monodromie ou à l’aide d’associateurs (Cherednik, González-Lorca).
Une algèbre de Lie naturellement associée à W permet d’étudier l’enveloppe algébrique de BW dans HW (q), l’algèbre de Hecke infinitésimale (Marin). On peut de plus munir les représentations de HW (q) de formes hermitiennes pour lesquelles l’action du groupe de tresse est unitaire (Squier, Wenzl, Long, . . .).
Les représentations que l’on obtient ainsi sont parmi les plus simples que l’on puisse obtenir. Pour autant, la question de l’adhérence topologique ou d’une description algébrique de l’image de BW dans ces représentations reste essentiellement ouverte.
Une extension de l’algèbre d’Iwahori-Hecke, encore quotient de l’algèbre de groupe de BW , a été construite en type A, et porte le nom d’algèbre de Birman-Wenzl-Murakami BMW. La représentation de Krammer est une des représentations de BMW.
Un quotient de l’algèbre d’Iwahori-Hecke en type An-1 est l’algèbre de Temperley-Lieb TL(q). Cette dernière admet pour quotient l’image Burau(q) de KBn dans la représentation de Burau. Schématiquement, la situation en type An-1 se présente comme suit
La représentation de Burau peut être définie pour tout W, et il en est de même pour HW (q). Des candidats pour des analogues de TL(q) (Tomdieck, Graham, Lehrer, Vincenti) et BMW(α,s) font l’objet de recherches. Dernièrement une version de BMW en types ADE recueille l’adhésion (Cohen-Wales-Gijsbers).
Une autre perspective consiste à obtenir, en type An-1, un quotient « plus gros » que BMW (Bigelow), ou de nature différente (Bellingeri-Funar).
On sait depuis peu que les groupes d’Artin sont linéaires (Krammer, Bigelow, Digne, Cohen-Wales), et qu’ils s’injectent dans une représentation dite « de Krammer ». Cette représentation a depuis été l’objet de nombreuses investigations. Elle a été munie d’une forme hermitienne (Budney). La fidélité de cette représentation a d’autre part permis d’établir diverses propriétés de théorie des groupes sur BW et PW , dont la résiduelle nilpotence-sans-torsion de PW pour tout W, et le fait que BW se plonge de façon Zariski-dense dans un groupe linéaire (Marin).
La linéarité de ces groupes amène à se demander lesquelles de représentations les plus fréquentes de BW sont fidèles. On sait que la représentation de Burau en type An-1 est fidèle pour n = 3 mais qu’elle ne l’est pas pour n ≥ 5 (Moody, Long, Bigelow).
Le cas crucial n = 4 reste non résolu à l’heure actuelle. D’autre part, dans les cas où la représentation de Burau n’est pas fidèle, on n’a à l’heure actuelle encore aucune description de son noyau.
Une question plus générale est de savoir si la représentation naturelle de BW dans HW (q) est fidèle. Dans ce cas également, seul le rang 2 est connu (Lehrer).