La théorie des représentations modulaires de groupes finis étudie les rapports entre les représentations d'un groupe fini G en caractéristique zéro et en caractéristique non nulle p, ses incidences pour la structure de G et d'autres domaines mathématiques, tels que la topologie algébrique (la cohomologie de G est aussi celle de son espace classifiant BG) et la géometrie algébrique (à tout module de G sur un corps algébriquement clos de caractéristique p on sait associer des variétés). La

Théorie des blocs de groupes finis, initiée par R. Brauer dans les années 30, développe les fondations abstraites pour étudier la structure de l'algèbre OG du groupe fini G sur un anneau O de valuation discrète complet ayant un corps résiduel k de caractéristique p et un corps de fractions K de caractéristique nulle. Chaque facteur direct indécomposable de OG en tant qu'algèbre est appelé un bloc de OG. Un tel bloc est lui-même une O-algèbre; outre sa catégorie de modules on peut lui associer sa structure p-locale, analogue à la structure p-locale du groupe fini G. En particulier, chaque bloc de OG détermine une classe de conjugaison de p-sous-groupes, les groupes de défaut du bloc en question, qui sont au bloc ce que sont les p-sous-groupes de Sylow au groupe. On cherche à classifier les blocs de groupes finis en termes de ces invariants.

Cohomologie et topologie algébrique. La conjecture de Segal, prouvée par G. Carlsson dans les années 80, décrit les morphismes entre les espaces classifiants de groupes finis, vus commes objet de la catégorie homotopique stable appropriée. Cette déscription a été utilisée par G. Mislin pour montrer que la restriction de G à un sous-groupe H de G induit un isomorphisme des anneaux de cohomologie modulo p si et seulement si G et H ont la même structure p-locale. D'une part, on cherche à savoir si les grands moyens de la topologie algébrique sont effectivement indispensables pour démontrer ce théorème, et d'autre part, on cherche une généralisation de ce théorème pour les blocs de groupes finis - généralisation qui nécessite tout d'abord un travail d'adaptation aux blocs des invariants cohomologiques usuels associés aux groupes finis.

Cohomologie et variétés. Les variétés associés aux kG-modules, définies par J.F. Carlson, sont des invariants cohomologiques permettant d'obtenir de l'information sur la catégorie de kG-modules. On peut développer une version des variétés cohomologiques relatives aux blocs de kG qui sont alors invariant par toutes les équivalences stables ou dérivées entre blocs de groupes finis préservant la structure p-locale de ces blocs. Le but est de trouver des méthodes qui permettraient de reconstituer les possibles structures de blocs à partir de leurs catégories stables (les catégories quotient des catégories de modules obtenues en identifiant tout module projectif à zéro).