On trouve d'une manière naturelle les algèbres de Hecke dans la théorie des représentations, en tant qu'algèbres d'endomorphismes de certaines représentations induites. C'est Iwahori qui a découvert qu'une telle algèbre de Hecke a une structure particulièrement favorable quand on considère le module de permutations d'un groupe réductif fini G sur les classes d'un sous-groupe de Borel. Dans ce cas-là, l'algèbre de Hecke peut être décrite comme une ``déformation'' de l'algèbre du groupe de Weyl W de G, où la déformation dépend de q (l'ordre du corps fini sur lequel G est défini) en tant que paramètre, de telle sorte que, si on pose formellent q = 1, on obtient juste l'algèbre de groupe W.

Bourbaki a démontré que, étant donné un groupe de Coxeter W (fini ou infini), on peut définir une algèbre de Iwahori-Hecke correspondante par une présentation similaire à celle donnée par Iwahori, et où les relations dépendent d'un ou de plusieurs paramètres. Notre but est d'essayer de comprendre la structure et les représentations de ces algèbres-là, non seulement d'un point de vue abstrait mais aussi en relation avec les représentations des groupes réductifs finis.

Afin d'être plus précis, consideérons ici seulement le cas oû W est un groupe de Coxeter fini.

Nous avons une première division suivant que H est semi-simple ou pas. En gros, H n'est pas semi-simple si les paramètres satisfont à des relations ``cyclotomiques''. Si ce n'est pas le cas, H est semi-simple et, par le théorème de déformation de Tits, il existe un isomorphisme entre H et l'algèbre du groupe W. Ce dernier cas, qu'on appelle aussi le cas ``générique'', est relativement bien compris. Par exemple, les tables de caractères de ces algèbres (definies en général par Geck-Pfeiffer) ont été déterminées pour tous les types, par Kilmoyer-Solomon (type I₂(m)), Starkey, Ram, Pfeiffer (type A_n), Alvis, Lusztig (types H₃, H₄), Geck (types F₄,E₆,E₇), Halverson-Ram, Pfeiffer (types B_n, D_n) et Geck-Michel (type E₈). Ces tables sont des versions ``génériques'' des tables de caractères des groupes de Coxeter finis, qui sont bien connues. La situation dans le cas où H n'est pas semi-simple est loin d'être comprise.

Nous sommes particulièrement interessés par les aspects suivants de la recherche actuelle.

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Structure abstraite:

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les constructions combinatoires dans les travaux de Dipper-James sur les types A_n,B_n;

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la structure en tant qu'algèbres symétriques, voir, par exemple, les travaux de Geck-Rouquier sur les centres des algèbres de Iwahori-Hecke;

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la structure des cellules au sens de Kazhdan-Lusztig et la structure ``cellulaire'' de Graham-Lehrer, l'isomorphisme canonique de Lusztig entre l'algèbre de Iwahori-Hecke et l'algèbre du groupe.

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Le projet CHEVIE de Geck, Hiss, Lübeck, Malle, Michel, Pfeiffer (voir sa page web).

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Matrices de décomposition:

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les calculs explicites des matrices de décomposition pour les types exceptionels, voir, par exemple, les travaux de Geck, Lux et Müller;

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la conjecture de Lascoux-Leclerc-Thibon sur les matrices de décomposition pour le type A_n, et la preuve de Ariki;

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les relations avec la théorie des cellules de Kazhdan-Lusztig.

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Relations avec les groupes réductifs finis et leur géométrie:

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relier les représentations des algèbres de Iwahori-Hecke et des groupes réductifs finis, via les foncteurs Hom et leurs quotients, voir les travaux de Dipper et Green-Cabanes;

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la q-algèbre de Schur introduite par Dipper-James pour LE type A_n et ses généralisations dans diverses directions, par Geck-Hiss, Gruber-Hiss, Dipper-James-Mathas et Du-Scott.

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les relations avec la géométrie de la variété des drapeaux d'un groupe réductif associé et les interprétations géométriques de l'algèbre de Iwahori-Hecke, voir les travaux de Lusztig et Springer.

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Aller plus loin:

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relations avec les algèbres de Hecke affines, voir les travaux de Kazhdan-Lusztig, Ginzburg, Grojnowski, Vigneras sur la ``conjecture de Deligne-Langlands'' et ses variantes ``modulaires'';

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relations avec les bases canoniques au sens de Kashiwara et Lusztig, voir les travaux de Lascoux-Leclerc-Thibon et Ariki;

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généralisations aux algèbres de Hecke cyclotomiques associées aux groupes de réflexions complexes, voir les travaux de Broué, Malle, Michel, Rouquier;

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développement d'extensions de CHEVIE pour les groupes de Weyl affines, les groupes de réflexions complexes et les structures associées.