Soit G un groupe algébrique réductif connexe, défini sur un corps fini Fq de cardinal q par un Frobenius F:G® G. Le groupe G(Fq), encore noté GF, est dit réductif fini. On sait que G est déterminé par une donnée radicielle, dont un système de racines dans le dual d'un Z-module libre. Par exemple, si G est semi-simple, ce système de racines est irréductible. S'il est dans l'une des quatre séries infinies, on obtient ainsi entre autres et en tout rang le groupe projectif, le groupe spécial linéaire, le groupe symplectique, le groupe spin et le groupe spécial orthogonal des diverses formes sur Fq. Les systèmes dits exceptionnels de rang 2, 4, 6, 7 et 8 donnent les groupes exceptionnels sur Fq. Pour étudier le groupe fini GF on dispose de la géométrie sous-jacente au couple (G,F), ce principe est à l'oeuvre dans l'étude des représentations modulaires.
La caractéristique du corps de définition Fq est évidemment un premier particulier et on se restreindra ici aux blocs de GF relativement à un premier l autre que la caractéristique de définition (en ce qui concerne les notions générales sur les blocs d'un groupe fini, voir sur cette même page ``Théorie des blocs").
Selon la théorie générale de Brauer un bloc a une structure locale, catégorie dont les objets sont certains couples (D,b) où D est un l-sous-groupe de GF et b un bloc de DCGF(D). Dans le cas des groupes réductifs finis sur Fq on est conduit à introduire la plus petite extension Fqe de Fq qui contient une racine primitive l-ième de l'unité (e est l'ordre multiplicatif de q modulo l). En guise de sous-groupes locaux il faut considérer des sous-groupes de Levi particuliers, dits e-déployés, qui sont les centralisateurs de tores définis sur Fq et déployés sur Fqe.
D'autre part la correspondance dite de Brauer entre blocs se réalise alors par le foncteur de Lusztig dont les propriétés arithmétiques en font un outil puissant dans la détermination et l'étude des l-blocs. Rappelons que pour tout sous-groupe de Levi L défini sur Fq du groupe algébrique G est définie une variété sur un corps convenable dont la cohomologie fournit un (GF,LF)-bimodule (virtuel) L(G,L,F), d'où l'application linéaire entre groupes de Grothendieck induite par (X® RLG X: = L(G,L,F)ÄX). On a par exemple
Soient T1 et T2 deux tores maximaux de G
définis sur Fq, et soient q1, q2 des
représentations linéaires de T1F et T2F respectivement, de
l-décompositions qj = (qj)l(qj)l¢. Si
les représentations virtuelles RT1G q1 et
RT2G q2 ``rencontrent" un même l-bloc de GF alors
les couples (T1,(q1)l¢) et (T2,(q2)l¢)
sont conjugués dans G, autrement dit
RT1G(q1)l¢ et RT2G (q2)l¢ décompose
dans la même série de Lusztig de GF.
On voit donc que la partition en blocs croise joliment la partition en séries de Lusztig. Ce théorème conduit à fixer la classe de (T,ql¢) et à ne considérer que les représentations intervenant dans un RTG q où q est de fait une représentation du l-sous-groupe de Sylow de TF. Pour q = 1TF, on obtient les représentations unipotentes de GF. Si aucun mauvais premier pour G n'intervient dans l'ordre des valeurs de (q)l¢ (qui sont des racines de l'unité), le stabilisateur C de (T,ql¢) est un sous-groupe de Levi de G et RCG met en relation les blocs de G considérés avec des blocs de CF contenant des représentations unipotentes.
Les classes de représentations irréductibles unipotentes de GF et de ses sous-groupes de Levi LF, ainsi que les applications RLG peuvent être décrites génériquement, c'est-à dire indépendamment de q. Il s'avère que le foncteur de Lusztig restreint aux sous-groupes de Levi e-déployés permet de partager l'ensemble des représentations unipotentes en ``séries" au sens de Harish-Chandra. Les représentations irréductibles cuspidales pour cette théorie de e-Harish-Chandra généralisée définissent des blocs de groupe de défaut central (si e = 1, e-déployé signifie G-déployé et cuspidal est cuspidal au sens classique). Dans la situation standard toutes les représentations d'une série de e-Harish-Chandra généralisée sont dans un même bloc et on obtient ainsi un paramétrage des blocs de G.
La description précédente vaut pour de bons premiers et lorsque le centre de G est connexe, premiers cas considérés dans la littérature. Ces restrictions ont été levées récemment, éventuellement cas par cas, par quelques raffinements techniques. Elle ne traite que du paramétrage des blocs et de la partition induite sur l'ensemble des classes de représentations irréductibles ordinaires.
Le programme complet d'étude des blocs des groupes réductifs finis est loin d'être achevé.