par Michel Broué.
Les groupes de Weyl sont les groupes finis de matrices à coefficients dans le corps des rationnels et engendrés par des réflexions. Ces groupes apparaissent comme les ``squelettes'' de nombreuses structures mathématiques, des algèbres de Lie semi-simples complexes aux groupes des tresses en passant par les groupes algébriques réductifs, les groupes quantiques et les algèbres de Hecke.
Les groupes de Weyl sont des cas particuliers de ``groupes de réflexions complexes'', groupes finis de matrices à coefficients dans une extension abélienne finie du corps des rationnels, engendrés par des ``pseudo-réflexions'' (éléments dont l'espace vectoriel des points fixes est un hyperplan) - si le corps des coefficients est réel, on trouve ainsi les groupes de Coxeter finis. Les groupes de réflexions complexes irréductibles ont été classifiés par Shephard et Todd (1954), et on peut démontrer que ce sont les seuls groupes finis de matrices dont l'algèbre des polynômes invariants est une algèbre de polynômes.
Steinberg (1964) a démontré que ces groupes ont des sous-groupes ``paraboliques'' analogues aux sous-groupes paraboliques des groupes de Coxeter. Springer, dans un article fondamental (Inv. Math. 25, 1974), a noté que certains de ces groupes (aujourd'hui appelés ``groupes de Weyl relatifs'') apparaissent naturellement dans les groupes de Weyl comme quotients de sous-groupes stabilisant certains sous-espaces. L'importance de ces groupes a été ensuite révélée par l'étude de la classification des caractères des groupes réductifs finis en blocs (pour une caractéristique transverse), grâce en particulier à l'existence d'``algèbres de Lie cyclotomiques'' associées à ces groupes (voir Astérisque vol. 212, 1993), qui généralisent les algèbres de Iwahori-Hecke.
Il résulte du travail de Lusztig que l'ensemble des caractères unipotents d'un groupe réductif fini, et beaucoup de données qui leur sont attachées, ne dépendent que du groupe de Weyl du groupe algébrique associé (et non du système de racines). Lusztig a observé que des ensembles similaires peuvent être construits pour des groupes de Coxeter non crystallographiques - comme s'il existait, par exemple, un groupe algébrique de groupe de Weyl H3. C'est au cours d'une conférence à l'î le de Spetses qu'a été imaginé et construit l'ensemble des caractères unipotents associé à une structure de groupe de Weyl le groupe cyclique d'ordre 3, ainsi que sa matrice de transformée de Fourier et l'ensemble des valeurs propres de Frobenius... Depuis (il s'agit d'un travail commun entre Gunter Malle, Jean Michel et moi-même), un travail analogue a été mené à bien pour de nombreux types de groupes de réflexions complexes. Un objet essentiel de cette construction est l'algèbre de Hecke associée à un groupe de réflexions complexes W, dont Gunter Malle, Raphaël Rouquier et moi-même avons démontré qu'elle est un quotient de l'algèbre du groupe des tresses associé (groupe fondamental de l'espace des orbites régulières du groupe W).
Il reste beaucoup de travail, pour les années à venir et pour le prochain siècle :
- Trouver des démonstrations générales (et non plus cas par cas) des multiples propriétés remarquables que possèdent les groupes de réflexions complexes.
- Comprendre ou imaginer les structures dont les groupes de réflexions complexes sont les groupes de Weyl, avec leurs représentations ``ordinaires'' et ``modulaires'', leurs blocs, etc. De telles structures (``étranges créatures'' selon Lusztig) sont appelées Spetses, en hommage au lieu de découverte des premières traces de leur existence.