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Combinatoire. Groupes. Catégories

 S'il fallait résumer en quelques mots ce qui est englobé dans ce titre, la meilleure formule serait sans doute: ``Des ensembles aux G-ensembles". Le point commun à ces différents aspects est en effet le suivant: que peut-on tirer pour étudier un groupe fini G de l'utilisation de G-ensembles?

Cette question peut être abordée de différents points de vue, et les méthodes employées se subdivisent schématiquement de la façon suivante:



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L'aspect combinatoire:
L'équivalent de l'anneau Z des entiers naturels est l'anneau de Burnside. Chaque G-ensemble fini a une image naturelle dans cet anneau. Les G-ensembles structurés (ordonnés ou simpliciaux) fournissent divers invariants dans l'anneau de Burnside (invariants de Lefschetz, invariants de Steinberg), dont le calcul nécessite la généralisation des méthodes combinatoires classiques, comme les séries génératrices, à des séries formelles à coefficients dans des anneaux de Burnside.

En retour, les morphismes naturels de l'anneau de Burnside dans les divers anneaux de représentations de G (anneau de Green, anneau des caractères), conduident à des invariants naturels de G.


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L'aspect topologique:
Parmi les G-ensembles structurés, les G-ensembles simpliciaux, ou les G-complexes simpliciaux, établissent un lien vers la topologie et les CW-complexes. Certains de ces complexes (complexe de Brown-Quillen par exemple), apparaissent naturellement en théorie des représentations, et permettent des traductions en termes topologiques ou K-théorique de certaines questions fondamentales (conjecture de Quillen, conjecture d'Alperin).


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L'aspect algébrique:
L'équivalent naturel de la notion d'anneau lorsque l'on passe des ensembles aux G-ensembles est la notion de foncteur de Green, dont l'archétype est le foncteur de Burnside. Une partie du jeu consiste ici à choisir son théorème d'algèbre favori, et de voir quelle interprétation on peut en donner dans ce cadre, et dans quelle mesure on peut le généraliser. La notion de module sur un foncteur de Green inclut le cas particulier de module sur l'anneau de Burnside, ou foncteur de Mackey. Les anneaux de représentations, l'homologie et la cohomologie ordinaires ou de Hochschild sont des exemples importants de tels foncteurs.

Les modules sur certains foncteurs de points fixes donnent la notion de foncteur de Mackey et foncteurs de Green cohomologiques, parmi lesquels on trouve les foncteurs de (co)homologie usuels.


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L'aspect fonctoriel:
La notion de préfaisceau sur un G-ensemble ordonné, et la notion très voisine de foncteur de Mackey, sont des exemples de l'usage de méthodes ``catégoriques" dans le cadre qui nous intéresse. Ces foncteurs sont eux-mêmes les objets de catégories, qui ont l'avantage d'être abéliennes. On peut alors essayer de classifier et de décrire les objets simples ou les objets projectifs de ces catégories.

Un autre aspect intéressant est celui des connexions existant entre ces catégories de foncteurs pour différents groupes finis. Par exemple, on peut classifier certains foncteurs entre catégories de Mackey à l'aide de bi-ensembles (qui sont aux G-ensembles ce que les bimodules sont aux modules). Les constructions classiques (induction, restriction, inflation, déflation, induction tensorielle, quotient de Brauer) trouvent ici une interprétation uniforme.

A l'inverse, on peut aussi systématiser le procédé précédent, en considérant des catégories dont les objets sont certaines classes de groupes finis, et les morphismes certaines classes de bi-ensembles virtuels. Ce point de vue a des applications aux groupes réductifs finis, et en théorie des représentations (structure du groupe de Dade des modules d'endopermutations). Un point de vue voisin consiste à prendre pour morphismes certaines classes de bimodules, ou certaines classes de complexes de bimodules: les exemples naturels sont les foncteurs d'homologie de Hochschild, et les foncteurs d'homologie cyclique, cette approche expliquant par exemple l'invariance des ces foncteurs par équivalence dérivée.

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