Eléments d'analyse harmonique

(2ème niveau)

Dernière modification 10.05.2003

L'organisation

Attention: L'enseignant responsable du cours sera professeur Szarek.

L'horaire: mercredi 13h30-16 heures et vendredi 9h30-12 heures plus quelques lundi 17h-19h (voir ci-dessous pour des précisions)
Lieu: 175 Chevaleret, salle 4C17, 4ème étage

Le calendrier des cours à partir de vacances d'avril:

mercredi 23.04.2003
vendredi 25.04.2003
lundi 28.04.2003
mercredi 30.04.2003
lundi 5.05.2003
mercredi 7.05.2003
mercredi 14.05.2003
vendredi 16.05.2003
mercredi 21.05.2003
vendredi 23.05.2003

Si nécessaire, on va continuer lundi 26.05.2003 et mercredi 28.05.2003

L'examen: Mercredi 4 juin 2004, 13h30-17h30, dans la salle du cours (4C17 au Chevaleret)

Pour tous les renseignements supplémentaires veuillez vous adresser au professeur Szarek szarek@ccr.jussieu.fr, tél. 01.44.27.85.25, bureau: Chevaleret 4C6, ou au professeur Volberg par email à volberg@math.msu.edu, ou voir la page Web du cours à URL http://www.ccr.jussieu.fr/eqanalyse/DEA/volberg/

Sommaire

Ce cours est principalement consacré à la théorie classique des opérateurs de Calderon-Zygmund. Les sujets que nous allons couvrir sont les suivants :

1. Les fonctions harmoniques dans le disque. Les valeurs limitées.
2. Les fonctions harmoniques conjuguées. L'opérateur de conjugaison.
3. Espaces de Hardy. Factorisation.
4. Théorème de Helson--Szego.
5. Les opérateurs de Calderón-Zygmund et de Hörmander par rapport à une mesure homogène. La théorie Lp.
6. Les opérateurs de Calderón-Zygmund et de Hörmander par rapport à une mesure non homogène. La théorie Lp.
7. Les opérateurs de Calderón-Zygmund et de Hörmander par rapport à une mesure arbitraire. La théorie L2. Les espaces BMO dans les cadres homogène et non homogène. Les théorèmes de type T1. Les fonctions accrétives et les théorèmes de type Tb.
8. Applications :
a) pourquoi la transformation de Cauchy est bornée sur les courbes Lipschitziennes (le problème de Calderón comme un cas particulier d'un problème de Kato).
b) les ensembles rectifiables au sens de Besicovitch et valeur principale d'intégrale de Cauchy.
9. Les opérateurs de Calderón-Zygmund pondérés. Les poids de Hunt-Muckenhoupt-Wheeden. La théorie de Rubio de Francia.
10. L'interprétation probabiliste : les processus stochastiques stationnaires et leur régularité.
11. Les processus multivariés (vectoriels). La nécessité des poids matriciels.
12. Les opérateurs de Calderón-Zygmund pondérés avec poids matriciels. La théorie des poids matriciels.

Bibliographie
1) Garcia-Cuerva, Jose ; Rubio de Francia, Jose L. Weighted norm inequalities and related topics. North-Holland Mathematics Studies, 116. Notas de Matematica [Mathematical Notes], 104. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1985. x+604 pp.ISBN : 0-444-87804-1
2) Stein, Elias M. Harmonic analysis : real-variable methods, orthogonality, and oscillatory intégrales. With the assistance of Timothy S. Murphy. Princeton Mathematical Series, 43. Monographs in Harmonic Analysis, III. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993. xiv+695 pp. ISBN : 0-691-03216-5
3) Christ, Michael. Lectures on singular intégral operators. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 77. Published for the Conference Board of the Mathematical Scienes, Washington, DC ; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 1990. x+132 pp. ISBN : 0-8218-0728-5
4) Barnett, John B. Bounded analytic functions. Pure and Aplied Mathematics, 96. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1981. xvi+467 pp.ISBN : 0-12-276150-2