Théorie locale des espaces de Banach, convexité et leurs applications
Parcours d'Analyse et Géométrie, Ecole Doctorale, UFR 929, 25 avril - 2 juin 2006
Stanislaw SZAREK, Equipe d'Analyse Fonctionnelle,
L’objectif de ce cours est de présenter les notions et une sélection des résultats classiques et récents - jusqu’aux problèmes de recherche - de la géométrie des espaces normés (fini-dimensionels mais de très grande dimension) et de la convexité et particulièrement leurs applications aux autres domains tells que: les probabilités classiques et non-commutatives, la théorie d'information (classique et quantique), la théorie d’approximations et la théorie des opérateurs.
Le cours fera une partie du trimestre "Phenomena in High Dimensions" à l'Institut Henri Poincare
Sommaire
* Rappel des notions et des résultats d’Analyse Fonctionnelle. Des résultats de base de convexité.
* Introduction à la théorie locale des espaces de Banach. Les résultats de base sur la distance de Banach-Mazur. Les idéaux d'opérateurs. L'ellipsoïde de John, conséquences.
* Les matrices aléatoires et pseudo-aléatoires. Des eléments de probabilités libres. Les espaces aléatoires et les corps convexes aléatoires.
* Des eléments de la théorie d’approximations. Les diamètres de Kolmogorov et de Gelfand, l’entropie métrique (des opérateurs et de corps convexes) ) et sa dualité.
* Des eléments la théorie d'information: classique, non-commutative et quantique; liens à la convexité (cette partie sera relativement importante). .
Connaissances requises
Cours introductif d’Analyse Fonctionnelle: espaces normés, dualité, Hahn-Banach, espaces de Banach classiques.
Bibliographie
(le cours ne suivira précisement aucun livre,
mais les titres suivants pourront être utiles, dans l'ordre d'importance)
1. G. Pisier, The volume of convex bodies and Banach space geometry, Cambridge University Press 1989
2. Handbook on the Geometry of Banach spaces, W. B. Johnson, J. Lindenstrauss eds., Elsevier Science 2001. En particulier, le chapître "Local operator theory, random matrices and Banach spaces" par K. R. Davidson, S. J. Szarek, Vol. 1, p. 317-366 (voir la page Web ci-dessous; les tires à part seront disponibles) et le chapître "Quotients of finite-dimensional Banach spaces; random phenomena" par P. Mankiewicz, N. Tomczak-Jaegermann, Vol. 2, p.1201-1246
3. Hiai, Fumio, Petz, Dénes, The semicircle law, free random variables and entropy. Mathematical Surveys and Monographs, 77. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. x+376 pp.
4. Dembo, A., Cover, T. M. and Thomas, J. A., Information Theoretic Inequalities, IEEE Transactions on Information Theory 37, (1991), No. 6, 1501--1518.
5. Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L., Quantum computation and quantum information. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xxvi+676 pp.
Pour toutes les renseignements supplémentaires voir la page Web du cours à URL http://www.institut.math.jussieu.fr/projets/af/DEA/szarek/