Cours Avancés

Géométrie algébrique
 

Laurent GRUSON : Théorie de l'intersection

Résumé :
L'objet du cours est d'étudier le livre Intersection Theory de W. Fulton. Il s'agit de la branche de la géométrie algébrique où l'on calcule le nombre de solutions d'un système d'équations.

Sommaire :

I.

Groupe de Chow.
On introduit le k-ième groupe de Chow A_k (X) d'un schéma algébrique X comme quotient du groupe abélien libre engendré par les sous-variétés de dimension k de X par l'équivalence linéaire. C'est un analogue du groupe d'homologie $H_{2k}(X,{\bf Z})$.

II.

Opérations du groupe de Chow.
- Classes de Chern d'un fibré vectoriel.
- Image réciproque par un morphisme d'intersections complètes

III.

Applications possibles
- Lieux multiples d'un morphisme de variétés algébriques.
- Lieux de dégénérescence d'une application linéaire de fibrés vectoriels.
- Théorème de Riemann-Roch.

Références :

1.

W. Fulton, Intersection Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Springer-Verlag, 1984.

 

Claire VOISIN : Théorie de Hodge

Résumé :
Ce cours développera dans différentes directions les éléments fournis par la théorie de Hodge, tels que présentés dans le cours 98-99. La première partie sera consacrée à la théorie de Lefschetz et à la topologie des familles de variétés algébriques. La seconde partie du cours donnera différentes applications des techniques de variation infinitésimale de structure de Hodge. On conclura avec une introduction aux cycles algébriques et à leur relation conjecturale avec la théorie de Hodge.

Sommaire :

I.

Théorie de Lefschetz
- Pinceaux de Lefschetz, étude locale
- Formule de Picard-Lefschetz
- Théorèmes de Lefschetz
- Dégénérescence de la suite spectrale de Leray
- Monodromie

II.

Variation infinitésimale de structure de Hodge - Complexes associés aux variations infinitésimales de structure de Hodge
- Cas des hypersurfaces
- Applications aux problème du type Noether-Lefschetz
- Application à l'étude de l'application d'Abel-Jacobi
- Le théorème de Nori

III.

Cycles algébriques
- Le théorème de Mumford et ses généralisations
- La conjecture de Bloch et ses généralisations
- Cas des variétés abéliennes

Références :

1.

M. Green, J. Murre, C. Voisin. Hodge theory and algebraic cycles, Cours du CIME, lecture notes in math., Springer 1994.

2.

C. Voisin, Notes de cours de DEA 98-99

3.

S. Bloch, Lectures on algebraic cycles, Duke Univ. Series IV (1980).

Théorie des Nombres
 

Yu. V. NESTERENKO : Transcendental Number Theory (II)

For the proof of irrationality or linear independence of numbers we would like to find a way to construct a sequence of sufficiently good Diophantine approximations to the numbers in consideration - perhaps approximations by rational numbers or else a sequence of simultaneous approximations. In several cases, the desired rational approximations can be obtained from the convergents of the well-known continued fraction expansions, or from explicit expressions for approximations, often in the form of integrals. For these purposes, functional approximations of Pade or simultaneous Hermite-Pade approximations are used. If the approximations can be constructed explicitly, then the result usually turn out to be more precise.

The course is devoted to explicit methods for constructing Diophantine approximations and the results that can be proved using these approximations. We plan to discuss the following topics.

1.

Simultaneous Functional approximations for the set of functions $e^{\alpha_k z}$, $(1-z)^{\omega_k}$, $(\log (1+z))^k$, $k=0, 1, \ldots, m.$

2.

Quantitative refinement of the Lindemann-Weierstrass Theorem; transcendence measure of the logarithms of algebraic numbers, measure of irrationality of $\pi$ and other numbers.

3.

Pade approximations to Gauss hypergeometric function and Gaussian continued fraction. Measure of irrationality for values of Gauss hypergeometric function at rational points.

4.

Pade - Hermite approximations for Generalized Hypergeometric Functions (GHF). Generalized Hermite identity for entire GHF; best possible estimates for linear forms in values of some functions; GHF with finite radius of convergence. Construction of simultaneous functional approximations and applications to the measure of linear independence of the values.

5.

Functional approximations of the polylogarithms and simultaneous approximations of their values. Approximations of $\zeta (3)$.

6.

Measures of linear approximation depending on each of the coefficients

Reference:

Feldman, N.I., Nesterenko,Yu.V., Transcendental numbers, Springer, 1998, Chapter 2; v.4 in Encyclopaedia of Math. Sciences.

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