Cours spécialisés

Pierre SCHAPIRA2776 : ${{\em D}}$-modules analytiques

Résumé :  Il s'agit d'un cours d'introduction à la théorie des ${\em D}$-modules dans le cadre analytique complexe. Les notions préliminaires de base (algèbre homologique, faisceaux, géométrie analytique) sont supposées connues, au moins superficiellement.

Aprés avoir traité les items 1-6, nous aborderons certains sujets parmi 7-13, suivant la demande du public.

Sommaire : 

  1. Construction de l'anneau ${\em D}$ des opérateurs différentiels sur une variété analytique complexe.
  2. Propriétés de finitude de l'anneau ${\em D}$.
  3. Complexes de Spencer et de De Rham.
  4. Variété et cycle caractéristique d'un ${\em D}$-module.
  5. ${\em D}$-modules associés à une sous-variété.
  6. Opérations sur les ${\em D}$-modules.
  7. Solutions holomorphes des ${\em D}$-modules.
  8. Variété caractéristique et micro-support.
  9. Systèmes elliptiques.
  10. Modules holonomes et faisceaux pervers.
  11. Systèmes microdifférentiels.
  12. Quantification des variétes complexes de contact ou symplectiques.
  13. Nouvelles directions et problèmes ouverts: ind-faisceaux et solutions holomorphes tempérées des ${\em D}$-modules, systèmes holonomes irréguliers.
Bibliographie : 
  1. M. Kashiwara, D-modules and microlocal calculus, Transl. of Math. Monographs 217, Amer. Math. Soc. (2003)
  2. J.E. Björk, Analytic ${\em D}$-modules Klüwer (1993)
  3. A. Borel et al, Algebraic ${\em D}$-modules Academic Press (1987)
  4. M. Kashiwara, Systems of microdifferential equations Birkhaüser (1983)
  5. M. Kashiwara et P. Schapira, Sheaves on manifolds. Grundlehren Math. Wiss 292, Springer-Verlag (1990)
  6. P. Schapira, Microdifferential systems in the complex domain Grundlehren Math. Wiss 269, Springer-Verlag (1985)
  7. J-P. Schneiders, An introduction to ${\em D}$-modules, Bull. Soc. Royale des Sciences de Liège, 63, 3-4, (1994) 223-295

Philip BOALCH2806 : Déformations isomonodromiques

Résumé :  Les déformations isomonodromiques sont une famille naturelle d'équations differentielles algébriques non-linéaires qui ``habite'' dans certains espaces de modules de connexions linéaires méromorphes. L'idée centrale est que l'application de Riemann-Hilbert est une sorte de ``transformation de Fourier-Laplace non-linéaire'' qui donne une bonne compréhension de ces équations. Donc ce cours serait une occasion d'étudier quelques espaces de modules simples en detail, avec des applications.

Sommaire : 

  1. Notions de base : géométrie symplectique complexe (applications moments, orbites coadjointes), fibrés vectoriels sur les courbes.
  2. Connexions méromorphes et leurs espaces de modules.
  3. Monodromie (de connexions linéaire et non-linéaire), l'application de Riemann-Hilbert comme une application holomorphe entre des espaces des modules algébriques.
  4. Déformations isomonodromiques (équations de Schlesinger, construction universelle de Malgrange, formulation Hamiltonienne, groupes de tresse, analogie avec la connexion de Gauss-Manin linéaire).
  5. Painlevé VI (groupes de Weyl affine et symmetries d'Okamoto).
  6. Cas irrégulier.

Prérequis :  Une familiarité avec les notions de base de géométrie differentielle et algébrique serait très utile.

Bibliographie : 

  1. C. Sabbah, ``Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius'', CNRS éditions, 2002.
  2. B. Malgrange ``Sur les déformations isomonodromiques'' I et II, dans: Mathématique et Physique (séminaire de l'ENS '79-'82) L. Boutet de Monvel et al ed.s, Birkhauser Progress in Mathematics vol. 37.
  3. P. P. Boalch ``Symplectic geometry and isomonodromic deformations'' Advances in Math., 163, 137-205, 2001.

Louis MAHÉ2829 : Formes quadratiques et géométrie réelle

Le cours aura lieu du 12/11 au 16/12/2005

Ce cours fait partie du programme du semestre ``Real Geometry" à l'Institut Henri Poincaré (voir http://www.ihp.jussieu.fr/ceb/realgeom/realgeomindex.html).

Les étudiants de M2 désirant faire valider cet enseignement à l'I.H.P. se mettront au contact avec Danielle Gondard 2832 et/ou Jan Nekovár 2835

Résumé :  La géométrie algébrique (et semi-algébrique) réelle étudie les ensembles de solutions réelles d'équations (et d'inéquations) polynomiales et l'algèbre sous-jacente à cette géométrie est celle des sommes de carrés, ou plus généralement des formes quadratiques. Ces dernières sont donc appelées à y jouer un rôle fondamental.

Après quelques bases sur la Géométrie semi-algébrique (corps réel clos, semi-algébriques), L'algèbre réelle (Nullstellensatz et Positivstellensatz, Spectre Réel), les formes quadratiques (théorie de Pfister, Anneaux de Witt), le cours illustrera les interactions Géométrie/Formes quadratiques en étudiant les trois problèmes suivants :

  1. Borner le nombre des carrés intervenant dans les sommes de carrés.
  2. Borner le nombre d'inégalités nécessaires pour décrire un semi-algébrique.
  3. Séparer les composantes connexes des variétés par des signatures de formes quadratiques.
Bibliographie : 
  1. J. BOCHNAK, M. COSTE, M.-F. ROY : Géométrie alébrique réelle, Springer (1987)
  2. C. ANDRADAS, L. BROECKER, J. RUIZ, Constructible sets in real geometry, Springer (1996)
  3. T.-Y. LAM, The algebraic theory of quadratic forms, Reading, Benjamin (1973)
  4. W. SCHARLAU, Quadratic and hermitian forms, Springer (1985)
  5. A. PFISTER, Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and Topology, Cambridge University Press UK, (1995)

Théorie des Nombres

Marie-France VIGNERAS2856 : Fonctions L et représentations p-adiques

Cours du 22 Fév. au 7 avril 2006.

Résumé :  Ce cours de théorie des nombres et de théorie des représentations des groupes est un cours d'introduction à la correspondance de Langlands locale p-adique pour $GL(2,{\bf Q}_p)$.

  1. Représentations algébriques de GL(2)
  2. Représentations lisses de $GL(2,{\bf Q}_p)$
  3. Structures p-entières
  4. Groupe de Galois absolu Galp de ${\bf Q}_p$
  5. Représentations p-adiques de Galp
  6. $(\phi, \Gamma)$-modules
  7. Des $(\phi, \Gamma)$-modules aux représentations p-adiques de $GL(2,{\bf Q}_p)$
  8. Zéros supplémentaires des fonctions L p-adiques
Bibliographie : 
  1. Christophe Breuil, Invariant $\cal L$ et série spéciale p-adique. Ann. Scient. de l'E.N.S. 37 (2004), 559-610.
  2. Christophe Breuil, Sur quelques représentations modulaires et p-adiques de $GL_2({\bf Q}_p)$. J. Institut Math. Jussieu 2 (2003), 23-58.
  3. Pierre Colmez, Une correspondance de Langlands locale p-adique pour les représentations semi-stables de dimension 2. Preprint 2004.
Prérequis :  Il est conseillé d'avoir suivi mon cours sur les fonctions L de formes modulaires, ainsi que les cours de Michael Harris (Paris 7) sur les formes modulaires, de Joseph Oesterlé sur la théorie des nombres et de Pierre Colmez sur les nombres p-adiques et fonctions L.

Méthodes algébriques effectives

Marc GIUSTI2882 : Géométrie algébrique effective

Résumé :
Ce cours traite de la géométrie algébrique constructive, c'est-à-dire de l'étude algorithmique des solutions d'un système d'équations polynomiales. Après avoir introduit les outils algorithmiques fondamentaux, nous montrons comment en atteindre les invariants et descriptions géométriques élémentaires.

Sommaire :

  1. Notion de base standard
    division d'un polynôme par une famille de polynômes ; théorème de la base finie de Hilbert ; problème d'appartenance à un idéal de polynômes ; algorithmes de construction de bases standard
  2. Syzygies
    comment les calculer ; syzygies d'ordre supérieur, résolution libre de l'anneau quotient ; théorème de Möller-Mora ; théorème des syzygies de Hilbert ; calcul de la dimension et du degré
  3. Lemme de normalisation de Noether
    versions algébrique et géométrique ; théorème des zéros de Hilbert ; théorie de l'élimination effective
  4. Élimination rapide
    structures de données non classiques codant les polynômes ; ensembles questeurs, test de nullité à la Heintz-Schnorr ; mise en position de Noether rapide ; détermination des points isolés d'une variété algébrique ; théorème des zéros effectif et efficace ; algorithme de résolution géométrique
  5. Considérations de hauteur
    des bornes supérieures de complexité aux bornes inférieures ; théorème de Liouville généralisé ; Nullstellensatz arithmétique ; théorème de Bézout arithmétique
  6. Application à la géométrie algébrique réelle
    variétés polaires classiques et généralisées ; détermination rapide d'un point par composante connexe d'une variété algébrique réelle ; applications à la compression d'images (algorithmes d'après Mallat, Bank-Lehmann)
  7. Complément
    généralisation aux systèmes d'équations différentielles linéaires ; introduction à la théorie effective des ${\em D}$-modules.
Prérequis : 

Notions de base d'algèbre commutative.

Propriétés des anneaux de polynômes sur un corps.

Variétés algébriques affines.

Références de base :

  1. D. Cox and J. Little and D. O'Shea, Ideals, varieties and algorithms : an introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra, Springer-Verlag, 1992.

  2. David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer-Verlag, 1994.

Eric VASSEROT : Algèbres de Hecke doublement affines et variétés de carquois

Le but du cours est l'étude des algèbres de Hecke doublement affines et de leurs représentations. Les représentations sont construites géométriquement, via des variétés de carquois. Le plan du cours devrait être le suivant :

  1. Représentations de carquois et variétés de carquois (Théorème de Kac, Schémas de Hilbert, etc).
  2. Groupes quantiques et cohomologie des variétés de carquois.
  3. Algèbres de Hecke doublement affines et leurs dégénérations rationnelles (morphisme de Harish-Chandra, etc).
  4. Représentations des DAHE, et fibres de Springer affines.
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M2 Algèbre et Géométrie, 2005-2006, 1998/99 1999/00 2000/01 2001/02 2002/03 2003/04 2004/05