Cours spécialisés

Géométrie algébrique
 

Laurent GRUSON : Théorie de l'intersection

La géométrie énumérative est la branche de la géométrie algébrique où l'on étudie le nombre de points d'une variété projective, vérifiant des conditions imposées, en nombre égal à la dimension de la variété (ex. il y a 5 droites de ${\bf P} _4$ rencontrant 6 plans donnés ``en position générale''). C'est (au 19e siècle) une des origines de la théorie de l'anneau de cohomologie d'une variété différentiable compacte.

Le livre ``Intersection theory'' de Fulton ([1]), auquel ce cours veut introduire, montre comment fonder la géométrie énumérative, avec une précision optimale, sans sortir du cadre de la géométrie algébrique. Il n'y a pas de dualité de Poincaré : on doit définir séparément les groupes de Chow A<sub>k</sub> (X) d'une variété X (classes d'équivalences linéaires de ``cycles'' de X), tenant lieu d'homologie, et l'anneau $\oplus _k A^k (X)$, tenant lieu de cohomologie, qui opère sur $\oplus _k A_k(X)$. C'est dans cet anneau qu'on peut définir les classes de Chern d'un fibré vectoriel ; plus généralement on associe, à un ``complexe parfait'' sur X ayant son support dans une sous-variété Y, une opération de A_. (X) dans A_. (Y). On est alors en mesure d'aborder quelques développements très connus : cohomologie des variétés de drapeaux, formule de Porteous, formule du lieu double, formule d'intersection excedentaire, théorème de Riemann-Roch-Grothendieck.

[1]

  W. Fulton, Intersection Theory, Erghebnisse 2, 1984, Springer.

[2]

  R. Hartshorne, Algebraic geometry, GTM 54, 1977, Springer

[3]

  J.-P. Serre, Algèbre locale, multiplicités, (3eme édition) LNM 11, 1975, Springer.

 

Éric LEICHTNAM : Théorème de l'indice de Atiyah-Singer

Le but de ce cours est d'introduire en insistant sur des exemples les concepts permettant de prouver le Théorème. Quelques résultats récents pourront, si le temps le permet, être abordés. Ce cours sera accessible aux étudiants ayant un peu de familiarité avec les notions de base de la géométrie différentielle. Une bibliographie commentée sera distribuée au début du cours.

Plan du cours :
Fibrés principaux et espaces fibrés vectoriels associés. Classes caractéristiques. Algèbres de Clifford. Structures Spinorielles et Spin_c. Opérateurs de Dirac. Équation de la chaleur, théorème de l'Indice d'Atiyah-Singer et applications. Si le temps le permet et suivant les motivations de l'auditoire, l'un des thèmes suivants pourra être abordé avec quelque développement récent.

1] Théorème de l'Indice d'Atiyah-Patodi-Singer pour les variétés à bord.

2] Introduction à la cohomologie cyclique et aux théorèmes d'indices algébriques de Nest-Tsygan.

 

Jean-Jacques RISLER : Méthodes de construction de courbes algébriques réelles

Plan :

1.

Généralités sur les variétés algébriques réelles projectives.

2.

Cas des courbes, théorèmes de Harnack, M-courbes, méthode de construction de Harnack-Hilbert.

3.

La méthode de Viro, présentation générale.

4.

Cas des T-courbes, T-surfaces. Exemples.

5.

Application aux champs de vecteurs polynomiaux du plan.

6.

Le cas local : lissification de germes de courbes planes singulières.

Bibliographie :

I. Itenberg : Contre-exemples à la conjecture de Ragsdale, CRAS Paris, 317, 1993, p. 227-282.

D. Pecker : Sur le théorème local de Harnack, prébublication de L'institut Mathématique de Jussieu, Nov. 1997.

J.-J. Risler : Construction d'hypersurfaces réelles (d'après Viro), Séminaire Bourbaki, 763, Novembre 1992.

O. Ya. Viro : Real algebraic curves : construction with controlled topology, Leningrad Math J.,1,5, 1990, p. 1059-1134.

G. Wilson : Hibert sixteenth problem, Topology, 17, 1978, p. 53-73.

Théorie des nombres
 

Michel WALDSCHMIDT : Un cours sur les nombres transcendants

Le but de ce cours est de présenter les bases de la théorie des nombres transcendants, et de développer quelques uns des résultats récents les plus frappants. Les principaux outils sont de nature :

Arithmétique : Notion de hauteur, inégalités de Liouville, approximation diophantienne

Algébrique : théorie du degré et de l'intersection, lemmes de zéros et de multiplicité sur les groupes algébriques.

Analytique : lemmes de Schwarz, majorations de déterminants d'interpolation, polynômes exponentiels.

Nous étudierons principalement la nature arithmétique (transcendance, approximation diophantienne) de nombres liés aux valeurs de fonctions exponentielles et elliptiques, et notamment des logarithmes de nombres algébriques. Nous verrons les liens avec les résultats récents de Nesterenko (formes modulaires, indépendance algébrique de $\pi$, $e^\pi$ et $\Gamma(1/4)$) que celui-ci développera dans son propre cours.

Référence :
Fel'dman, Naum I.; Nesterenko, Yuri V. - Number theory. IV. Transcendental Numbers. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 44. Springer-Verlag, Berlin, 1998. iii+345 pp.

Les deux cours suivants auront lieu au Centre Émile Borel
(début vers le 15 janvier 1999)

 

Youri NESTERENKO : Indépendance algébrique de valeurs de fonctions analytiques

Les principaux résultats de ce cours concernent des minorations du degré de transcendance sur ${\bf Q}$ des corps engendrés par des valeurs de formes modulaires. On démontrera en particulier que pour tout entier $d \ge 1$ , les nombres $\pi$ et $e^{\pi\sqrt{d}}$ sont algébriquement indépendants.

1.

La théorie linéaire.
Théorème de Shidlovskii sur l'indépendance algébrique de valeurs de E-functions. La preuve utilise la théorie classique de l'élimination linéaire.

2.

Outils algébriques.
Degré, hauteur et valeur des idéaux homogènes de $K[x_0,\ldots,x_m]$, où K est un corps de caractéristique nulle, muni d'un ensemble propre de valeurs absolues. Formes de Chow. Théorie de l'élimination algébrique et critères d'indépendance algébrique.

3.

Lemmes de multiplicités pour les solutions d'équations differentielles algébriques.
Ces lemmes, fondés sur la 2e partie dans le cas $K={\bf C}(z)$, sont des versions fonctionnelles des mesures d'indépendance algébrique. Ils conduisent aux résultats annoncés plus haut sur l'indépendance algébrique de valeurs de formes modulaires.

Bibliographie :

[1]

 Nesterenko,Yu.V., On the measure of algebraic independence of the values of Ramanujan functions, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, v.218, 1997, p.294-331.

 

Christophe SOULÉ : Intersection arithmétique

La ``géométrie d'Arakelov'' permet de donner une définition précise de la hauteur des variétés projectives. La plupart des notions et résultats de la géométrie algébrique classique y trouvent un analogue arithmétique. Le cours est une introduction à cette théorie en plein développement.

Les sujets abordés seront les suivants :

--

Hauteur des variétés projectives :
Définition. Propriétés. Exemples : grassmanniennes, variétés abéliennes. Comparaison avec la hauteur de Nesterenko-Philippon.

--

Intersection sur les variétés algébriques.

--

Intersection sur les variétés arithmétiques.

--

Formule de Hilbert-Samuel, théorème de Riemann-Roch.

Connaissances requises : Hartshorne, Chap. 1 et 2 ; Griffiths et Harris, Chap. 0,1 et 3.

Bibliographie :

C. Soulé, D. Abramovich, J.-F. Burnol et J. Kramer : Lectures on Arakelov geometry, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 33, 1992, Cambridge University Press.

J.B. Bost, H.Gillet et C.Soulé : Heights of projective varieties and positive Green forms, Journal of AMS 7, 1994, 903-1027.

Théories de Lie algébriques
 

Benjamin ENRIQUEZ : Groupes quantiques en genre $\geq 1$

Ce cours fait suite au cours de A. Joseph sur les groupes quantiques du premier semestre.

Le but du cours est de présenter une construction de quasi-algèbres de Hopf associées à ainsi que (éventuellement) deux types d'applications : les réalisations des groupes quantiques elliptiques et la construction de familles commutatives d'opérateurs aux différences.

Les quasi-algèbres de Hopf sont des objets généralisant les groupes quantiques, qui ont été introduits par Drinfeld dans [1]. Dans la définition de ces objets, on affaiblit notamment l'axiome de coassociativité du coproduit. Nous présenterons la construction de [5] de quasi-algèbres de Hopf $U_{\hbar}^{(X,\omega)}{\bf g}$ associées à la donnée $(X,\omega)$ d'une courbe algébrique X et d'une différentielle rationnelle $\omega$ sur X. Ces algèbres généralisent les Yangiens et les algèbres quantiques affines, qui sont associées a ${\bf C}P^1$ et $\omega = dz$ ou dz/z.

Cette construction repose sur celle d'algèbres de lacets quantiques associées à $(X,\omega)$, dans l'esprit des ``nouvelles réalisations'' de Drinfeld ([2,4]).

Une application de cette construction est le cas ou X est une courbe elliptique et $\omega = dz$. Dans ce cas, on peut donner a $U_{\hbar}^{(X,\omega)}{\bf g}$ une structure de groupe quantique dynamique - c'est à dire construire une famille de coproduits, indexés par l'algèbre de Cartan et satisfaisant une variante de l'axiome de coassociativité ([3]). Ces structures ont été introduites par Felder dans [7] en lien avec des modèles de physique statistique. On peut d'ailleurs établir un morphisme entre $U_{\hbar}^{(X,\omega)}{\bf g}$ et les algèbres de [7].

Une autre application est la construction d'une famille commutative d'opérateurs aux différences associée à $U_{\hbar}^{(X,\omega)}{\bf g}$. Ces opérateurs sont obtenus par l'action d'éléments de de $U_{\hbar}^{(X,\omega)}{\bf g}$, centraux au niveau critique, sur des fonctions de corrélation de champs associés à $U_{\hbar}^{(X,\omega)}{\bf g}$. On peut les voir comme les analogues en genre $\ge 1$ des opérateurs du système XXZ. La représentation de blocs conformes par des fonctions de corrélation est une idée introduite dans [6].

Références :

[1]

  V.G. Drinfeld, Quasi-Hopf algebras, Leningrad. Math. J. 1:6 (1990), 1419-57.

[2]

  V.G. Drinfeld, A new realisation of Yangians and quantized affine algebras, Sov. Math. Dokl. 36 (1988).

[3]

  B. Enriquez, G. Felder, Elliptic quantum groups $E_{\tau,\eta}({\bf sl}_2)$ and quasi-Hopf algebras, q-alg/9703018, Commun. Math. Phys. (1998).

[4]

  B. Enriquez, V. Rubtsov, Quantum groups in higher genus and Drinfeld's new realization method, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 30, sér. 4 (1997), 821-46.

[5]

  B. Enriquez, V. Rubtsov, Quasi-Hopf algebras associated with ${\bf sl}_2$ and complex curves, q-alg/9608, à paraître dans Israel Math. J.

[6]

  B. Feigin, A. Stoyanovsky, A realization of the modular functor in the space of differentials and the geometric approximation of the moduli space of G-bundles, Funct. An. Appl. 28:4 (1994), 257-75.

[7]

  G. Felder, Conformal field theory and integrable systems associated to elliptic curves, Proc. ICM Zürich 1994, 1247-55, Birkhäuser (1994); Elliptic quantum groups, Proc. ICMP Paris 1994, 211-8, International Press (1995).

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