Cours fondamentaux

Géométrie algébrique
 

François LOESER, Antoine CHAMBERT-LOIR (TD) : Géométrie algébrique

Résumé :
L'objet du cours est de présenter les bases de la théorie des schémas ainsi que quelques résultats fondamentaux concernant les courbes et les surfaces.

Sommaire :

I.

Schémas
- schémas
- morphismes propres, séparés
- faisceaux quasi-cohérents
- calcul différentiel sur les schémas

II.

Cohomologie des schémas
- catégories dérivées
- images directes
- théorèmes de dualité
- morphismes plats et lisses

III.

Courbes et surfaces
- théorèmes de Riemann - Roch
- théorème de Hurwitz
- fonctions zeta des courbes sur un corps fini

Références :

R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52, Springer-Verlag, 1977.

D. Eisenbud, et J. Harris, Schemes. The language of modern algebraic geometry. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, 1992.

D. Mumford, The red book of varieties and schemes. Lecture Notes in Mathematics, 1358. Springer-Verlag, 1988.

 

Claire VOISIN : Théorie de Hodge

Résumé :
Le but du cours est de présenter la théorie de Hodge, comme moyen d'étude des variétés algébriques complexes.
La théorie de Hodge permet d'associer aux variétés projectives ou kählériennes des objets de nature transcendante : les structures de Hodge sur les groupes de cohomologie. Une bonne partie du cours sera consacrée à cette construction : après des préliminaires sur les notions de structure complexe, et de métriques hermitiennes et kählériennes, on établira les identités kählériennes, qui permettent, par le théorème de Hodge sur la représentation des classes de cohomologie par des formes harmoniques d'établir le théorème de décomposition.
On se propose ensuite d'étudier deux aspects de cette construction :

--

L'application des périodes et la théorie des déformations de la structure complexe. Il s'agit de décrire, d'après Griffiths, la variation de la structure de Hodge avec la structure complexe.

--

Les cycles algébriques et les différentes applications ``classe de cycle'' : on veut ici donner un aperçu de la notion de classe de Hodge, construire la classe d'un cycle, et introduire l'application d'Abel-Jacobi et la cohomologie de Deligne, comme moyen d'étude des groupes de Chow d'une variété.

Références :

K. Kodaira : Complex manifolds, Springer

A. Weil : Variétés kählériennes, Hermann

M. Green, J. P. Murre, C. Voisin : Hodge theory and algebraic cycles, Lecture Notes in Math., Springer.

Théorie des nombres
 

Marie-José BERTIN & Odile LECACHEUX : Courbes elliptiques

But du cours :
Ce cours fondamental est une initiation aux outils de base permettant de comprendre l'énoncé des principales conjectures relatives aux courbes elliptiques. Il commence par des rappels de résultats essentiels d'algèbre et d'analyse, pour lesquels on renvoie aux ouvrages cités en référence.

Rappels sur les courbes algébriques : courbes affines, courbes projectives, cubiques, théorème de Riemann-Roch [4,6], la théorie des nombres [1], les surfaces de Riemann [5], les séries de Dirichlet [4].

Sommaire :

Définition d'une courbe elliptique ; courbes de genre 1, forme canonique, loi de groupe

Fonctions elliptiques et modulaires ; Fonctions doublement périodiques, fonction $\sqrt{}$ de Weierstrass.

Courbes elliptiques sur ${\bf C}$ ; réseaux, quotients de C par un réseau, fonction modulaire j, classification des courbes sur ${\bf C}$, points de torsion, endomorphismes.

Courbes elliptiques sur ${\bf Q}_{p}$.

Théorème de Mordell-Weil ; Énoncé des résultats et étapes de la démonstration. Groupes de Selmer et de Tate-Shafarevitch. Exemples.

Réduction d'une courbe elliptique modulo p.

Courbes elliptiques sur les corps finis.

Fonction L d'une courbe elliptique ; Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

Points de torsion sur ${\bf Q}$. Courbes modulaires : première approche. Exemples.

Courbes modulaires X₀(N).

Bibliographie :

[1]

  Bertin-Christol : Cours de théories des Nombres de maîtrise. Polycopié Paris 6 (1996)

[2]

  Husemoller D. Elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, (1987).

[3]

  Robert, A. Elliptic curves, LNM 326, Springer-Verlag, (1973).

[4]

  Knapp, A. W. Elliptic curves, Mathematical Notes, Princeton University Press, (1992).

[5]

  Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Math Soc of Japan and Princeton University Press (1971). Chapitres I et II.

[6]

  Silverman, J. H. The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, (1986).

[7]

  Silverman, J.H. Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, (1995).

Théories de Lie algébriques
 

Anthony JOSEPH : Algèbres de Hopf

Depuis l'invention des groupes quantiques, les algèbres de Hopf sont un sujet de grande actualité. La notion d'algèbre de Hopf permet d'unifier les notions d'algèbres de groupes, d'algèbres enveloppantes des algèbres de Lie et de groupes quantiques. Ce cours est une introduction au sujet, mettant en évidence les outils principaux. On essaiera en particulier de voir dans quelle mesure les résultats classiques sur les groupes finis peuvent se généraliser. On fera aussi la liaison entre les algèbres de Lie et les groupes algébriques sans aucun appel à l'analyse. On verra enfin que la structure de Hopf permet plusieurs types d'action (action adjointe, action croisée) menant à des constructions fructueuses (produit croisé, double de Drinfeld, R-matrice) faisant la richesse du sujet.

Bibliographie :

E. Abe, Hopf algebras, Cambridge University Press, Cambridge 1980.

A. Joseph, Quantum groups and their primitive ideals, Springer, Berlin 1995.

S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, CBMS Lecture Notes, vol. 82, Amer. Math. Soc. 1993.

Cours de Paris 7 validé dans le DEA ``Méthodes Algébriques''  

Bernhard KELLER : Introduction aux groupes et algèbres de Lie

1.

Groupes de Lie et algèbres de Lie
Rappels sur les variétés, groupe de Lie, algèbre de Lie associée, cas des groupes de Lie linéaires, bijection entre sous-groupes analytiques et sous-algèbres, revêtement universel d'un groupe de Lie, correspondance entre algèbres de Lie et groupes de Lie simplement connexes.

2.

Algèbres de Lie semi-simples complexes
Idéaux, homomorphismes, représentations, algèbres résolubles, algèbres nilpotentes, forme de Killing, algèbres semi-simples, décomposition en idéaux simples, semi-simplicité des représentations, représentations de sl₂, sous-algèbres de Cartan, système de racines, groupe de Weyl, classification des systèmes de racines, algèbres enveloppantes, algèbres de Lie libres, théorème d'existence et d'unicité pour une algèbre de Lie au système de racine donné.

3.

Formes réelles
Existence d'une forme compacte, décomposition de Cartan, sous-algèbres de Cartan, transformation de Cayley, ``diagrammes de Vogan'', classification.

Bibliographie :

[1]

  N. Bourbaki, Eléments de Mathématiques, Groupes et Algèbres de Lie, Chapitres 1 à 9 (03 BOU ...).

[2]

  C. Chevalley, Theory of Lie groups. I, Princeton University Press, 1946 (25 CHE 46).

[3]

  J. Dixmier, Algèbres Enveloppantes, Gauthier-Villars 1974 (25 DIX 74).

[4]

  J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Texts in Mathematics 9, 1972 (25 HUM 72) et 1980 (25 HUM 80).

[5]

  A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics 140, Birkhäuser, 1996 (25 KNA 96).

[6]

  R. Mneimné, F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, Hermann 1986 (25 MNE 86).

[7]

  R. Mneimné, Eléments de géométrie : Actions de groupes, Cassini, 1997 (60 MNE 97).

[8]

  J. P. Serre, Lie algebras and Lie groups : 1964 lectures given at Harvard University, Benjamin, 1965 (25 SER 65). Springer LNM 1500, 1992 (25 SER 92).

[9]

  J. P. Serre, Algèbres de Lie semi-simples complexes, Benjamin, 1966 (25 SER 66). Traduit dans Complex semisimple Lie algebras, Springer, 1987 (25 SER 87).

Combinatoire
(le cours est divisé en deux parties)  

Michel LAS VERGNAS : Polyèdres combinatoires et variétés semi-algébriques réelles

L'objet du cours est de démontrer le théorème de J. Richter-Gebert (1995) sur l'universalité des espaces de réalisations des polyèdres convexes de dimension 4. On exposera également le théorème voisin de N.E. Mnëv (1986) sur l'universalité des matroïdes orientés de rang 3.

Le théorème principal s'énonce : étant donnés des polynômes réels f_i, g_j, soit V la semi-variété algébrique réelle définie par les équations f_i(x)=0 et les inéquations g_j(x)>0, alors il existe un polyèdre convexe P de ${\bf R}^4$ dont l'espace des réalisations est stablement équivalent à V. De plus le treillis des facettes de P peut être calculé en temps polynômial à partir du système définissant V.

Dans le cours (de niveau 1) seront introduits tous les outils nécessaires aux démonstrations. On présentera en particulier les éléments fondamentaux de la théorie des matroïdes orientés (combinatoire des positions relatives dans les configurations de points de ${\bf R}^d$).

Bibliographie :

A. Björner, M. Las Vergnas, B. Sturmfels, N. White, G. Ziegler, Oriented Matroids, Cambridge University Press 1993, xii+516 pp.

J. Richter-Gebert, Realization spaces of polytopes, Lecture Notes in mathematics, Springer 1996, xii+187 pp.

 

Jean-Claude FOURNIER : Couplages et Pavages

Les couplages dans les graphes représentent une part très significative de la Combinatoire tant par leurs aspects théoriques que par leurs liens nombreux avec d'autres questions et par leurs applications en général.

Après avoir donné les bases de la théorie des couplages, ce cours développera les questions de pavage des figures du plan en particulier par des dominos, ce qui constitue une illustration et une application remarquables des couplages dans les graphes bipartis. Cette question déja ancienne de la Combinatoire présente en outre un aspect fortement géométrique et peut se voir aussi sous l'aspect de la théorie des groupes suivant le papier fondateur de Thurston en 90 "Conway's Tiling Groups". Diverses extensions seront envisagées, notamment récentes avec les pavages sur les surfaces orientables.

Le problème du couplage maximum dans un graphe a été à l'origine dans les années 60 de la notion de problème bien résolu au sens algorithmique, point de départ de la théorie de la Complexité algorithmique. Dans le cadre de ce cours, nous serons amenés à donner les bases de cette théorie, jusqu'à la notion de problème NP-difficile, bases qui se révèlent indispensables dans le cadre aujourd'hui fréquent d'une vision constructive des mathématiques. Par ailleurs, une extension naturelle des couplages dans les graphes se trouve dans la théorie des matroïdes, et nous en donnerons donc une large introduction. Ces deux domaines du cours, Complexité et Matroïdes, interviennent également dans l'autre moitié du cours (Polyèdres combinatoires et variétés semi-algébriques réelles).

Bibliographie :

-

Graham R.L., Grötschel M., Lovasz L. (eds.), Handbook of Combinatorics, North-Holland 1995

-

Lovasz L., Plummer M.D., Matching Theory, Annals of Discrete Math., 29, North- Holland 1986

Géométrie effective
 

Marc GIUSTI & Jean MOULIN-OLLAGNIER : Géométrie effective

Ce cours de base (niveau 1) comporte deux parties. Dans la première nous traitons de la géométrie algébrique constructive, c'est-à-dire de l'étude algorithmique des solutions d'un système d'équations polynomiales (ou variété algébrique). Après avoir introduit les outils algorithmiques fondamentaux, nous montrons comment en atteindre les invariants et descriptions géométriques élémentaires.

Dans la seconde, nous présentons certains aspects de l'algèbre différentielle, en commençant par la théorie de Liouville de l'intégration en forme finie.

I.

Notion de base standard d'idéaux. Division d'un polynôme par une famille de polynômes. Le théorème de la base finie de Hilbert. Le problème d'appartenance à un idéal. Algorithmes de construction de bases standard.

II.

Comment trouver les relations entre polynômes. Syzygies supérieures, résolution libre de l'anneau quotient. Le théorème de Möller-Mora. Le théorème des syzygies de Hilbert. Calcul de la dimension et du degré.

III.

Le lemme de normalisation de Noether (versions algébrique et géométrique). Le théorème des zéros de Hilbert. Théorie de l'élimination effective.

IV.

Considérations de structures de données et de complexité. Détermination des points isolés des variétés algébriques. Des algorithmes effectifs aux algorithmes efficaces.

V.

Des bornes supérieures aux bornes inférieures de complexité : lien avec l'approximation diophantienne.

VI.

Complément : généralisation aux systèmes d'équations différentielles linéaires, introduction à la théorie effective des $\cal D$-modules.

VII.

Algorithme de Risch.

VIII.

Traitement formel des équations différentielles linéaires à coefficients rationnels.

IX.

Intégrales premières liouvilliennes de certains systèmes autonomes (Lotka - Volterra).

Pierre-Vincent KOSELEFF (TD) :

Les travaux dirigés se décomposent en deux parties. Dans un premier temps, on proposera une introduction aux ``méthodes effectives'', qui consistera d'une part à exposer et illustrer de façon non exhaustive des résultats classiques d'algèbre algorithmique ou effective : arithmétique entière, algorithme d'Euclide étendu, résultants, sous-résultants, complexité des calculs intermédiaires, algorithmes de l'algèbre linéaire, d'échelonnement sans division, factorisation de polynômes. Il s'agira ici de donner des méthodes effectives de calcul. On abordera par l'exemple différents aspects du calcul formel qui vont de la formulation du problème mathématique, la recherche d'un algorithme et l'étude de son coût, l'implantation de celui-ci et les choix de représentation.

D'autre part une initiation à l'utilisation du calcul formel sur machine sera proposée dès le début permettant aux étudiants d'accéder de façon autonome à des moyens de calcul durant l'année.

Enfin des travaux dirigés sur machine qui illustreront le cours. Le logiciel MAPLE qui contient une large bibliothèque de programmes, sera utilisé.

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