Cours accélérés

Du 14 au 25 septembre 1998

 

Christian PESKINE : Algèbre homologique

Plan de cours :

1.

Catégories abéliennes.

2.

Foncteurs dérivés. Exemples.

3.

Fonctions additives. Le polynôme de Hilbert. Intersection dans l'espace projectif. Bézout.

 

Pierre SCHAPIRA : Variétés et faisceaux

Sommaire :

1.

Faisceaux et opérations usuelles sur les faisceaux

2.

Espaces annelés, variétés réelles et complexes

3.

Faisceaux localement constants et représentations du groupe fondamental sur un espace topologique

4.

Faisceaux localement libres (fibrés vectoriels) et faisceaux cohérents sur une variété complexe

Les étudiants sont censés avoir assimilé les notions de base de topologie générale, du calcul différentiel réel et complexe, et de l'algèbre commutative.

Du 14 au 18 septembre et du 28 septembre au 2 octobre 1998  

François DIGNE : Groupes finis et représentations

Groupes finis : théorème de Jordan-Holder, groupes résolubles et nilpotents.

Représentations : définition et opérations sur les représentations

Structure de l'algèbre d'un groupe fini et de son centre

Caractères, orthogonalité, intégralité

Induction et restriction

Questions de rationnalité

Applications : théorème de Burnside, théorèmes de Hall-Sylow, $\ldots$

Du 28 septembre au 9 octobre 1998  

Alain KRAUS : Théorie de Galois

Sommaire :

I.

Théorie de Galois des extensions de corps.

1.

Généralités : extensions de corps, théorème de l'élément primitif, groupe de Galois, extensions galoisiennes, correspondance de Galois.

2.

Détermination explicite de certains groupes de Galois.

3.

Introduction au problème inverse de Galois : exemples de groupes finis se réalisant comme groupes de Galois sur ${\bf Q}$.

II.

Revêtements topologiques.

1.

Homotopie, groupe fondamental. Exemples.

2.

Revêtements d'un espace topologique.

3.

Groupe de Galois d'un revêtement, revêtements galoisiens, théorie de Galois des revêtements.

 

Antoine CHAMBERT-LOIR : Algèbre commutative et introduction à la géométrie algébrique

On introduira le langage de la géométrie algébrique en mettant en valeur la correspondance entre algèbre et géométrie.

1.

Variétés affines (théorème des zéros de Hilbert, dimension de Krull, lien avec le degré de transcendance)

2.

Variétés. Exemples (espace projectif, variétés projectives, grassmaniennes, etc.)

3.

Courbes

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