Cours spécialisés

Géométrie algébrique

Nikita KARPENKO : Cycles algébriques avec applications aux formes quadratiques

Cours du 5 Mars au 13 Avril 2007$\star$

Résumé : 
La théorie algébrique des formes quadratiques, c'est-à-dire la théorie des formes quadratiques sur un corps quelconque, a été fondée vers le milieu du XXème siècle. La première vague de résultats a atteint son maximum dans les années 1970. Pendant certaine période à partir de ce temps-là, on a même considéré cette théorie comme achevée. Néanmoins, une deuxième vague géante de nouveaux résultats est venue vers la fin du siècle passée. Elle est caractérisée surtout par application de méthodes et de moyens (classiques ainsi que récemment inventés) de la géométrie algébrique. On en parlera dans ce cours.

Sommaire : 

1. Revue de la théorie classique des formes quadratiques.
2. Groupes de Chow, correspondances et motifs, opérations de Steenrod.
3. Variétés projectives homogènes liés aux formes quadratiques.
4. Dans la partie finale du cours, on traitera des résultats récents sur les formes quadratiques (questions d'isotropie des formes anisotropes sur extensions du corps de base, dimension maximale de formes anisotropes sur un corps fixe, dimensions des formes anisotropes de degré n, valeurs des indices de Witt supérieures etc.) et discutera des problèmes ouverts.

Prérequis :  Il est conseillé d'avoir suivi les cours fondamentaux sur la géométrie algébrique : [I,II].

Bibliographie : 

1. T. Y. Lam. Introduction to quadratic forms over fields. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
2. W. Scharlau. Quadratic and Hermitian forms. Springer, Berlin, 1985.
3. W. Fulton. Intersection theory. Second edition, Springer, Berlin, 1998.
4. P. Brosnan. Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 5, 1869-1903.
5. O. T. Izhboldin. Fields of u-invariant 9. Ann. of Math. (2) 154 (2001), no. 3, 529-587.
6. N. A. Karpenko. On the first Witt index of quadratic forms. Invent. Math. 153 (2003), no. 2, 455-462.

Ce cours est également proposé en télé-enseignement

Théorie des Nombres

Marie-France VIGNERAS : Fonctions L et représentations p-adiques

Cours du 5 Mars au 13 Avril 2007$\star$

Résumé :  Ce cours de théorie des nombres et de théorie des représentations des groupes est un cours d'introduction à la correspondance de Langlands locale p-adique pour $GL(2,{\bf Q}_p)$.

1. Représentations algébriques de GL(2)
2. Représentations lisses de $GL(2,{\bf Q}_p)$
3. Structures p-entières
4. Groupe de Galois absolu Gal_p de ${\bf Q}_p$
5. Représentations p-adiques de Gal_p
6. $(\phi, \Gamma)$-modules
7. Des $(\phi, \Gamma)$-modules aux représentations p-adiques de $GL(2,{\bf Q}_p)$
8. Zéros supplémentaires des fonctions L p-adiques

Bibliographie : 

1. Christophe Breuil, Invariant $\cal L$ et série spéciale p-adique. Ann. Scient. de l'E.N.S. 37 (2004), 559-610.
2. Christophe Breuil, Sur quelques représentations modulaires et p-adiques de $GL_2({\bf Q}_p)$. J. Institut Math. Jussieu 2 (2003), 23-58.
3. Pierre Colmez, Une correspondance de Langlands locale p-adique pour les représentations semi-stables de dimension 2. Preprint 2004.

Prérequis :  Il est conseillé d'avoir suivi mon cours sur les fonctions L de formes modulaires, ainsi que les cours de Michael Harris (Paris 7) sur les formes modulaires, de Daniel Bertrand sur la théorie des nombres et de Pierre Colmez sur les nombres p-adiques et fonctions L.

Damian RÖSSLER : Introduction à la théorie des modèles entiers des courbes

Cours du 5 Mars au 13 Avril 2007$\star$

Résumé : 
Dans ce cours, nous nous attacherons à formuler et démontrer les théorèmes principaux de la théorie des modèles entiers des courbes.

Plus précisément, soit S un schéma en anneaux de Dedekind et $C\rightarrow{\rm Spec} \kappa(S)$ une courbe projective et lisse sur son corps de fonctions. Que peut-on dire des fibrations en courbes $\widetilde{C}\rightarrow S$ dont la fibre générique est C ? Si $S={\rm Spec} {\bf Z}$, cela correspond à s'intéresser aux divers systèmes d'équations à coefficients entiers définissant des courbes isomorphes sur $\bf Q$.

Sommaire : 

1. Rappels sur les éclatements; théorie de l'intersection sur les surfaces.
2. (Esquisse de la) démonstration de l'existence d'une résolution des singularités dans le cas des surfaces, d'après Lipman.
3. Démonstration de l'existence d'un modèle régulier minimal pour les courbes de genre $\geq 1$ (théorème de Lichtenbaum et Shafarevitch).
4. Etudes des modèles des courbes elliptiques; la classification de Néron-Kodaira des fibres spéciales.
5. Existence de modèle stables pour les courbes de genre $\geq 2$, après extension séparable finie du corps de fonctions (théorème de Deligne-Mumford); notre démonstration suivra Artin-Winters.

A part pour 2., notre exposition suivra dans les grandes lignes celle du livre [Liu], chapitre 8 à 10, qu'il faut considérer comme le manuel de référence pour ce cours. On trouvera dans [Artin] une exposition de la démonstration de Lipman. Pour le point 4., on pourra aussi consulter le livre [Silverman] et pour 5. l'article [Abbes].

Prérequis : géométrie algébrique schématique de base (par exemple, le cours fondamental Géométrie Algébrique I).

Bibliographie : 

[Abbes] Abbes, A.: Réduction semi-stable des courbes d'après Artin, Deligne, +Grothendieck, Mumford, Saito, Winters, $\ldots$. Courbes semi-stables et +groupe fondamental en géométrie algébrique (Luminy, 1998), 59-110, Progr. +Math., 187, Birkhäuser, Basel, 2000.

[Artin] Artin, M.: Lipman's proof of resolution of singularities for surfaces. Arithmetic geometry (Storrs, Conn., 1984), 267-287, Springer, New York, 1986.

[Liu] Liu, Q.: Algebraic geometry and arithmetic curves. Translated from the French by Reinie Erné. Oxford Graduate Texts in +Mathematics, 6. Oxford Science Publications. Oxford University Press, Oxford, 2002.

[Silverman] Silverman, J.-H. Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves. +Graduate Texts in Mathematics, 151. Springer-Verlag, New York, 1994.

Kai BEHREND, Andrew KRESCH (IHP) : Introduction to Stacks

Cours du 19 Févr. au 16 Mars 2007$\star$

Ce cours fait partie du programme du semestre "Groupoids and Stacks in Physics and Geometry" a l'Institut Henri Poincaré (http://www.ihp.jussieu.fr/ceb/Trimestres/T07-1/index.html). Les étudiants de M2 désirant faire valider cet enseignement à l'I.H.P. se mettront au contact avec Jan Nekovar.

Résumé :  his course will give a careful introduction to the theory of algebraic stacks. The exposition will follow the draft of the early chapters of the monograph in preparation "Introduction to Stacks" by Behrend et al.

Nicolas BERGERON : Spectre des surfaces hyperboliques

Cours du 5 Mars au 13 Avril 2007$\star$
(Cours commun avec le M2 Analyse et géométrie de Paris 6)

À travers l'étude du spectre des surfaces hyperboliques (théorème spectral, formule des traces de Selberg) nous nous attacherons, dans ce cours, à illustrer les liens ténus entre la géométrie/topologie des surfaces, analyse sur ces variétés et certains problèmes de théorie des nombres. Le but sera de donner une (ou deux suivant le temps) demonstration auto-contenu d'un célèbre théorème de Selberg sur la première valeur propre du spectre des surfaces de congruence.

Bibliographie : 

1. Iwaniec : Spectral methods of automorphic forms, Graduate Studies in Mathematics Vol. 53
2. Bump : Automorphic forms and representations, Cambridge university press (1997)
3. Buser : Geometry and spectra of compact riemann surfaces, Birkhauser (1992)

Prérequis :  Il est conseillé d'avoir suivis les cours d'introduction d'Elisha Falbel et dans une moindre mesure celui de Daniel Bertrand. Avoir suivi un cours de théorie spectrale (opérateurs non bornés) peut aidé. J'essaierai quoiqu'il en soit, de rendre le cours auto-contenu, quitte à renvoyer aux notes que je distribuerai en cours.

Ce cours est également proposé en télé-enseignement

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